10 điểm bảng nguyên hàm đầy đủ

Công thức nguyên hàm là phần quan trọng trong giải tích 12, hệ thống công thức đó được lập thành bảng nguyên hàm. Trong đề thi gần đây, các câu đòi hỏi học sinh phải nhớ công thức trong bảng là khá nhiều.

Lý thuyết

Định nghĩa: \(\int {f(x)dx = F(x) + C \Leftrightarrow F'(x) = f(x)} \)

Tính chất:

  • \(\int {f'(x)dx = f(x) + C} \)
  • \(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} } \) với \(\forall k \ne 0\).
  • \(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx}  \pm \int {g(x)dx} \)

Bảng nguyên hàm đầy đủ

Bảng nguyên hàmnguyên hàmPhân dạng

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số.

Phương pháp:

  • Bước 1: Biến đổi hàm số \(f\left( x \right)\) về các hàm số sơ cấp có nguyên hàm đã biết.
  •  Bước 2: Sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…để tìm nguyên hàm các hàm số.

Dạng 2: Tìm hàm số cho biết đạo hàm và giá trị của hàm số tại một điểm.

  • Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho, sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…
  • Bước 2: Thay giá trị đề bài cho vào và tìm hằng số \(C\) suy ra hàm số cần tìm.

Dạng 3. Phương pháp nguyên hàm biến đổi

1. Kiến thức cần nhớ

– Vi phân:

\(\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u’\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u’\left( t \right)dt = v’\left( x \right)dx\end{array}\)

– Công thức đổi biến:

\(\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u’\left( x \right)dx}  = \int {f\left( t \right)dt} \) \( = F\left( t \right) + C = F\left( {t\left( x \right)} \right) + C\)

2. Một số dạng toán thường gặp

TH 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).
  • Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), trong đó \(u\left( x \right)\) là hàm được chọn thích hợp.
  • Bước 2: Tính vi phân \(dt = u’\left( x \right)dx\).
  • Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
  • Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt} \) \( = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).
TH 2: Dựa bảng nguyên hàm hãy tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).
  • Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), trong đó \(u\left( t \right)\) là hàm số ta chọn thích hợp.
  •  Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u’\left( t \right)dt\).
  • – Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u’\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).
  •  Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C\)

Dạng 4. Phương pháp nguyên hàm từng phần

1. Kiến thức cần nhớ

– Công thức nguyên hàm từng phần: \(\int {udv}  = uv – \int {vdu} \)

2. Bài toán

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( x \right).h\left( x \right)dx} \)

Phương pháp:

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\dv = h\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = g’\left( x \right)dx\\v = \int {h\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) (\(v\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(h\left( x \right)\))
  • Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = uv – \int {vdu} \)

Dạng 5. Phương pháp nguyên hàm hữu tỉ

Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án với P(x) và Q(x) là các đa thức không căn.

Phương pháp giải:

Nếu bậc của tử số P(x)≥ bậc của mẫu số Q(x) Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Chia đa thức.

Nếu bậc của tử số P(x) < bậc của mẫu số Q(x) Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Xem xét mẫu số và khi đó:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).

Dạng 6. Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: Tìm nguyên hàm dựa vào những phương pháp đã biết:

  •  Sử dụng bảng nguyên hàm.
  • Đổi biến số
  • Nguyên hàm từng phần

Bước 2: Dựa vào yêu cầu của bài toán tìm ra hằng số C tương ứng.

Bước 3: Kết luận một nguyên hàm vừa tìm được.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết trên sẽ giúp em học tốt nguyên hàm một cách hiệu quả.

10 điểm bảng nguyên hàm đầy đủ
Chuyển lên trên