Để tính tìm vận tốc con lắc đơn dao động điều hòa chúng ta có nhiều cách. Bài này giới thiệu các em một công thức độc lập thời gian để tìm vận tốc con lắc.
Xét một con lắc đơn lý tưởng. Kéo quả nặng theo phương tiếp tuyến của con lắc tới vị trí có phương dây hợp với phương thẳng đứng một góc α$_0$ rồi thả nhẹ. Hãy tìm biểu thức xác định vận tốc con lắc đơn ở li độ góc α?
Theo định luật bảo toàn cơ năng:
$\begin{array}{l}
W = {W_d} + {W_t}\\
\leftrightarrow mg{h_0} = \frac{1}{2}m{v^2} + mgh\\
\leftrightarrow mg\ell \left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right) = \frac{1}{2}m{v^2} + mg\ell \left( {1 – \cos \alpha } \right)\\
\leftrightarrow v = \sqrt {2g\ell \left( {\cos \alpha – \cos {\alpha _0}} \right)}
\end{array}$
Vận tốc của vật ở li độ góc α trong dao động điều hòa của con lắc đơn:
$\left| v \right| = \sqrt {2g\ell (\cos \alpha – \cos {\alpha _0})} $
- Khi vật ở vị trí biên (α = α$_0$) thì vận tốc theo phương tiếp tuyến: |v$_{min}$| = 0
- Khi vật ở vị trí cân bằng (α = 0) thì vận tốc theo phương tiếp tuyến: $\left| {{v_{\max }}} \right| = \sqrt {2g\ell (1 – \cos {\alpha _0})} $
Chúng ta cùng nhau vào phần ví dụ:
Câu 1: Con lắc đơn gồm một sợi dây dài 10m, một đầu sợi dây treo vật nặng có khối lượng m, đầu còn lại gắn vị trí cố định. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 0,03 rad, ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s$^2$. Hãy tìm vận tốc con lắc đơn ở li độ góc α = 0,02 rad?
A. 0,39 cm/s.
B. 2,2 cm/s.
C. 22 cm/s.
D. 0,39 m/s.
Giải
$\left| v \right| = \sqrt {2g\ell (\cos \alpha – \cos {\alpha _0})} = \sqrt {2.10.10(\cos \left( {0,02} \right) – \cos \left( {0,03} \right))} = 0,22\left( {\frac{m}{s}} \right)$
Chọn: C.
Câu 2: Con lắc đơn gồm một sợi dây dài 1m, một đầu sợi dây treo vật nặng có khối lượng m, đầu còn lại gắn vị trí cố định. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 6$^0$, ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s$^2$. Hãy tìm vận tốc của con lắc ở li độ góc α = 10 rad?
A. 26 cm/s.
B. 33 cm/s.
C. 33 m/s.
D. 0,26 cm/s.
Giải
$\left\{ \begin{array}{l}
{\alpha _0} = {6^0} = \frac{\pi }{{30}}\left( {rad} \right)\\
{\alpha _0} = {1^0} = \frac{\pi }{{180}}\left( {rad} \right)\\
\left| v \right| = \sqrt {2g\ell (\cos \alpha – \cos {\alpha _0})}
\end{array} \right. \to \left| v \right| = \sqrt {2.10.1.\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{{180}}} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{{30}}} \right)} \right]} = 0,33\left( {\frac{m}{s}} \right)$
Chọn: B.
Câu 3: Con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình α = 0,04cos(10πt + π/6) rad. Hãy tìm vận tốc con lắc đơn ở li độ góc α = 0,02 rad? Biết g = 10m/s$^2$.
A. 1,5 cm/s.
B. 0,155 cm/s.
C. 1,55 cm/s.
D. 1,1 cm/s.
Giải
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\omega ^2} = \frac{g}{\ell } \to \ell = \frac{g}{{{\omega ^2}}}}\\
{\left| v \right| = \sqrt {2g\ell (\cos \alpha – \cos {\alpha _0})} }
\end{array}} \right\} \to \left| v \right| = \sqrt {2\frac{g}{{{\omega ^2}}}(\cos \alpha – \cos {\alpha _0})} = 1,1\left( {\frac{m}{s}} \right).$
Chọn: C.
Câu 4: Con lắc đơn gồm một sợi dây dài 1m, một đầu sợi dây treo vật nặng có khối lượng m, đầu còn lại gắn vị trí cố định. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 3$^0$, ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s$^2$. Hãy tìm tốc độ cực tiểu của con lắc?
A. – 0,16 m/s.
B. 0.
C. 0,08 m/s.
D. 0,16 cm/s.
Giải
Tốc độ cực tiểu của con lắc khi nó ở vị trí biên: |vmin| = 0
Chọn: B.
Câu 5: Con lắc đơn gồm một sợi dây dài 2m, một đầu sợi dây treo vật nặng có khối lượng m, đầu còn lại gắn vị trí cố định. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 5$^0$, ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s$^2$. Hãy tìm vận tốc cực tiểu của con lắc?
A. 0,39 m/s.
B. 0.
C. 5,35 m/s.
D. – 0,39 m/s.
Giải
${v_{\min }} = – \sqrt {2g\ell (1 – \cos {\alpha _0})} = – \sqrt {2.10.2\left( {1 – \cos \left( {\frac{{5\pi }}{{180}}} \right)} \right)} = – 0,39\left( {\frac{m}{s}} \right)$
Chọn: D.
Câu 6: Một con lắc đơn gồm hòn bi có khối lượng m treo vào sợi dây dài ℓ = 1m dao động với biên độ α$_0$ = 6$^0$ ở nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s$^2$. Tìm tỉ số giữa vận tốc cực đại và vận tốc nơi có li độ góc α = 3$^0$?
A. 1,155
B. 0,866
C. 0,224
D. 2,100
Giải
$\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
{v_{m{\rm{ax}}}} = \sqrt {2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right)} \\
v = \sqrt {2g\ell \left( {c{\rm{os}}\alpha – \cos {\alpha _0}} \right)}
\end{array} \right\}\\
\to \frac{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}{v} = \frac{{\sqrt {2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right)} }}{{\sqrt {2g\ell \left( {c{\rm{os}}\alpha – \cos {\alpha _0}} \right)} }} = \sqrt {\frac{{1 – \cos {\alpha _0}}}{{c{\rm{os}}\alpha – \cos {\alpha _0}}}} = \sqrt {\frac{{1 – c{\rm{os}}{{\rm{6}}^0}}}{{c{\rm{os}}{3^0} – c{\rm{os}}{6^0}}}} = 1,15.
\end{array}$
Select: A.
Câu 7: Một con lắc đơn, dây treo dài ℓ, được treo tại nơi có gia tốc trọng trường g. Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng tới li độ góc α$_1$. Tại thời điểm ban đầu, người ta truyền cho quả cầu con lắc vận tốc $\overrightarrow {{v_1}} $theo phương vuông góc với sợi dây, để nó bắt đầu dao động xung quanh vị trí cân bằng. Bỏ qua mọi ma sát. Khi quả cầu đi qua vị trí cân bằng, vận tốc con lắc đơn của nó có độ lớn
A. $v = \sqrt {v_1^2 + g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _1}} \right)} .$
B. $v = \sqrt {v_1^2 + 2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _1}} \right)} .$
C. $v = \sqrt {v_1^2 + 2g\ell \left( {1 + \cos {\alpha _1}} \right)} .$
D. $v = \sqrt {v_1^2 – 2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _1}} \right)} .$
Giải
$\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
v_1^2 = 2g\ell \left( {c{\rm{os}}{\alpha _1} – \cos {\alpha _0}} \right)\\
v_{cb}^2 = 2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right)
\end{array} \right\}v_{cb}^2 – v_1^2 = 2g\ell \left( {1 – c{\rm{os}}{\alpha _1}} \right)\\
\to {v_{cb}} = \sqrt {v_1^2 + 2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _1}} \right)}
\end{array}$
Chọn: B.