Tìm thời điểm gặp nhau của hai vật dao động

Trong dao động điều hòa, chúng ta có nhiều các để tìm thời điểm gặp nhau của hai vật. Bài viết này sẽ giới thiệu bạn đọc một cách khá hay bằng đường tròn.

Loading...

Bài toán 1: Bài toán hai vật gặp nhau.

Cách 1: Giải tổng quát
– Trước tiên, xác định pha ban đầu của hai vật từ điều kiện ban đầu.
– Khi hai vật gặp nhau thì: x$_1$ = x$_2$ ; giải & biện luận tìm t → thời điểm và vị trí hai vật gặp nhau.

Cách 2: Dùng mối liên hệ DĐĐH và CĐTĐ (có 2 trường hợp)

a) Trường hợp 1: Sự gặp nhau của hai vật dao động cùng biên độ, khác tần số.
Tình huống: Hai vật dao động điều hoà với cùng biên độ A, có vị trí cân bằng trùng nhau, nhưng với tần số f$_1$ ≠ f$_2$ (giả sử f$_1$ > f$_2$). Tại t = 0, chất điểm thứ nhất có li độ x$_1$ và chuyển động theo chiều dương, chất điểm thứ hai có li độ x$_2$ chuyển động ngược chiều dương. Tìm thời điểm gặp nhau của hai vật dao động lần đầu tiên

TH1: Thời điểm gặp nhau lần đầu tiên 
TH1: Thời điểm gặp nhau lần đầu tiên
TH1: Thời điểm gặp nhau lần đầu tiên 
TH1: Thời điểm gặp nhau lần đầu tiên

Có thể xảy ra hai khả năng sau:
– Khi gặp nhau hai chất điểm chuyển động cùng chiều nhau.
Tại t = 0, trạng thái chuyển động của các chất điểm sẽ tương ứng với các bán kính của đường tròn như hình vẽ.
Do ω$_1$ > ω$_2$ → α1 > α2. Trên hình vẽ, ta có: β = α2 – α1
– Khi gặp nhau, chất điểm chuyển động ngược chiều nhau:
$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\alpha _1} = \widehat {{M_1}O{O_1}} + \widehat {{O_1}O{N_1}}}\\
{{\alpha _2} = \widehat {{M_2}O{O_1}} + \widehat {{O_1}O{N_2}}}\\
{\widehat {{O_1}O{N_1}} + \widehat {{O_1}O{N_2}} = \pi }
\end{array}} \right\}}\\
{ \to {\alpha _1} + {\alpha _2} = \widehat {{M_1}O{O_1}} + \widehat {{M_2}O{O_1}} + \pi }
\end{array}.$

Đặc biệt: nếu lúc đầu hai vật cùng xuất phát từ vị trí x$_0$ theo cùng chiều chuyển động. Do ω$_1$ > ω$_2$ nên vật 2 đi nhanh hơn vật 1, chúng gặp nhau tại x$_1$, suy ra thời điểm hai vật gặp nha:

khoảng cách giữa hai chất điểm dao động điều hòa

Nếu φ <0 →$\widehat {{N_1}OA} = \widehat {{N_2}OA} \to \left| \varphi \right| – \omega {t_1} = \omega {t_2} – \left| \varphi \right| \leftrightarrow t = \frac{{2\left| \varphi \right|}}{{{\omega _1} + {\omega _2}}}$

Nếu φ> 0 → $\widehat {{N_1}OA} = \widehat {{N_2}OA} \to \left( {\pi – \left| \varphi \right|} \right) – {\omega _1}t = {\omega _2}t – \left( {\pi – \left| \varphi \right|} \right)\leftrightarrow t = \frac{{2(\pi – \varphi )}}{{{\omega _1} + {\omega _2}}}$

b) Trường hợp 2: Sự gặp nhau của hai vật dao động cùng tần số, khác biên độ.
Tình huống: Có hai vật dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song, sát nhau, với cùng một chu kì. Vị trí cân bằng của chúng sát nhau. Biên độ dao động tương ứng của chúng là A1 và A2 (giả sử A1 > A2). Tại thời điểm t = 0, chất điểm thứ nhất có li độ x$_1$ chuyển động theo chiều dương, chất điểm thứ hai có li độ x$_2$ chuyển động theo chiều dương.
1. Hỏi sau bao lâu thì hai chất điểm gặp nhau? Chúng gặp nhau tại li độ nào?
2. Với điều kiện nào thì khi gặp nhau, hai vật chuyển động cùng chiều? ngược chiều? Tại biên?
Có thể xảy ra các khả năng sau

khoảng cách giữa hai chất điểm dao động điều hòa

Bài toán 2: Sự gặp nhau của hai vật dao động cùng tần số, vuông pha nhau (độ lệch pha $\Delta \varphi = \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}$ )
– Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc giữa chúng có dạng elip nên ta có ${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{A_1}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{A_2}}}} \right)^2} = 1$
– Kết hợp với: $\left| {{v_1}} \right| = \omega \sqrt {A_1^2 – x_1^2} \to \left\{ \begin{array}{l}
– {v_1} = \pm \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}\omega {x_2}\\
– {v_2} = \pm \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}\omega {x_1}
– \end{array} \right.$
– Đặc biệt: Khi A = A1 = A2 (hai vật có cùng biên độ hoặc một vật ở hai thời điểm khác nhau), ta có: $x_1^2 + x_2^2 = {A^2};\,\,\,{v_1} = \pm \omega {x_2};\,\,{v_2} = \pm \omega {x_1}$ (lấy dấu + khi k lẻ và dấu – khi k chẵn)

Ví dụ
Câu 1 : Hai chất điểm dao động điều hòa có phương x$_1$ = 4cos(2πt – π/3 ) cm và x$_2$ = 4cos(3πt – π/3) cm. Tìm thời điểm gặp nhau của hai chất điểm
A. 8/15 s.
B. 4/3 s.
C. 1/15 s.
D. 2/15 s.
Giải
φ = – π/3 < 0 → $t = \frac{{2\left| \varphi \right|}}{{{\omega _1} + {\omega _2}}} = \frac{{2.\left| { – \frac{\pi }{3}} \right|}}{{2\pi + 3\pi }} = \frac{2}{{15}}\left( s \right)$ Chọn D. Câu 2 : Hai chất điểm dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x$_1$ = 4cos(πt + π/10 ) cm và x$_2$ = 4cos(3πt + π/10) cm. Tìm thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm đi ngang qua nhau? A. 0,12 s. B. 0,05 s. C. 0,04 s. D. 0,45 s. Giải φ = π/10 > 0 → $t = \frac{{2(\pi – \varphi )}}{{{\omega _1} + {\omega _2}}} = \frac{{2(\pi – \frac{\pi }{{10}})}}{{\pi + 3\pi }} = 0,45\left( s \right)$
Chọn D.

Câu 3 : Hai con lắc lò xo giống nhau cùng có khối lượng vật nặng m = 10 g, độ cứng lò xo là k = π$^2$ N/cm, dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở cùng gốc tọa độ). Biên độ của con lắc thứ hai lớn gấp ba lần biên độ con lắc thứ nhất. Biết rằng lúc hai vật gặp nhau chúng đi ngược chiều nhau. Khoảng thời gian giữa hai lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp là
A. 0,02 s.
B. 0,05 s.
C. 0,15 s.
D. 0,01 s.
Giải

Mô tả khoảng thời gian giữa hai lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp

$T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt {\frac{{0,01}}{{100{\pi ^2}}}} = 0,02\left( s \right)$
Giả sử hai vật gặp nhau tại vị trí li độ x, ở thời điểm t1 = 0. Sau khoảng thời gian t = T/2 hai chất điểm quét được một góc π như nhau và gặp nhau tại x’.
Khoảng thời gian giữa hai lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp là $t = \frac{T}{2} = \frac{{0,02}}{2} = 0,01\left( s \right)$

Câu 4 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các vật lần lượt là : x$_1$= 3cos( 5πt – π/3) và x$_2$= cos(5πt – π/6) (x tính bằng cm; t tính bằng s). Trong khoảng thời gian 1s đầu tiên thì hai vật gặp nhau mấy lần?
A. 3 lần.
B. 2 lần.
C. 6 lần.
D. 5 lần.
Giải
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 3\cos \left( {5\pi t – \frac{\pi }{3}} \right)\\
{x_2} = \sqrt 3 \cos \left( {5\pi t – \frac{\pi }{6}} \right)\\
{x_1} = {x_2}
\end{array} \right. \to x = {x_2} – {x_1} = \sqrt 3 \cos \left( {5\pi t – \frac{\pi }{2}} \right) = 0$
Trong một chu kì vật qua vị trí cân bằng 2 lần
$T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{5\pi }} = 0,4\left( s \right) \to t = 1\left( s \right) = \underbrace {2T}_{n = 2.2} + \underbrace {\frac{T}{2}}_{{n_d}}$
Ta thấy: $t = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \cos \left( { – \frac{\pi }{2}} \right) = 0\\
v = – \sqrt 3 .5\pi \sin \left( { – \frac{\pi }{2}} \right) > 0
\end{array} \right.$ → thời điểm ban đầu là 1 lần.
Sau khoảng thời gian t = T/2 thì vật lại về đúng vị trí cân bằng theo chiều âm → Thời điểm cuối là 1 lần.
Trong khoảng thời gian 1s đầu tiên thì hai vật gặp nhau: 1 + 2.2 + 1 = 6 lần

Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *