8+ Khối đa diện và thể tích khối đa diện chi tiết

Theo đề toán tham khảo THPT Quốc Gia lần 1 và lần 2 năm 2020 thì mỗi đề đều có 3 câu thể tích khối đa diện: 1 câu nhận biết; 1 câu thông hiểu; 1 câu vận dụng cao (khó). Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ phần khối đa diện với mong muốn bạn đạt làm hết 3 câu và đạt điểm tối đa.

Khái niệm về khối đa diện

Khái niệm khối đa diện

a) Hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn tính chất:
  • Hai đa giác phân biệt hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
  • Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
b) Khối đa diện

Ta sẽ chỉ xét các hình bao gồm hình đa diện \(H\) và phần trong của nó, hình đó được gọi là khối đa diện giới hạn bởi \(H\).

Phân chia, lắp ghép các khối đa diện

Một khối đa diện bất kì có thể phân chia được thành những khối tứ diện.

Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện

Phép đối xứng qua mặt phẳng

Định nghĩa: Phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc \(\left( P \right)\) thành chính nó và biến mỗi điểm \(M\) không thuộc \(\left( P \right)\) thành điểm \(M’\) sao cho \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(MM’\).
Thể tích khối đa diện

– Phép đối xứng qua mặt phẳng bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.

Mặt phẳng đối xứng của một hình

Định nghĩa: Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) biến hình \(H\) thành chính nó thì \(\left( P \right)\) gọi là mặt phẳng đối xứng của hình \(H\).

Một số hình có mặt phẳng đối xứng: mặt cầu, tứ diện đều, hình lập phương, hình bát diện đều,…

Hai hình bằng nhau

a) Phép dời hình
  • Phép biến hình \(F\) được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nghĩa là nếu \(F\) biến hai điểm \(M,N\) thành \(M’,N’\) thì \(M’N’ = MN\).
  • Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng,…
  • Hợp thành của những phép dời hình là phép dời hình.
Ví dụ:  Phép đồng nhất, phép đối xứng qua mặt phẳng, phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến,…
b) Hai hình bằng nhau
  • Định nghĩa: Hai hình \(H\) và \(H’\) được gọi là bằng nhau nếu tồn tại một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
  • Định lý: Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.
+ Hai tứ diện đều bằng nhau nếu chúng có các cạnh bằng nhau.
+ Hai hình lập phương bằng nhau nếu chúng có cạnh bằng nhau.

Khối đa diện đều. Phép vị tự

Phép vị tự

Định nghĩa: Cho số \(k \ne 0\) không đổi và một điểm \(O\) cố định. Phép biến hình trong không gian biến điểm \(M\) thành \(M’\) sao cho \(\overrightarrow {OM’}  = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự. Điểm \(O\) gọi là tâm vị tự, số \(k\) gọi là tỉ số vị tự.
Tính chất:
  • Nếu phép vị tỉ số \(k\) biến hai điểm \(M,N\) thành hai điểm \(M’N’\) thì \(\overrightarrow {M’N’}  = k\overrightarrow {MN} \) và \(M’N’ = \left| k \right|MN\)
  • Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng, đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng,…
  • Nếu tỉ số vị tự \(k =  \pm 1\) thì nó là phép dời hình.
Hai hình đồng dạng nếu tồn tại một phép vị tự biến hình này thành hình kia.

Khối đa diện đều

– Định nghĩa: Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất:
  •  Các mặt là những đa giác đều và có cùng số cạnh.
  • Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng số cạnh.
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {n;p} \right\}\)
  • \(n\) là số cạnh của mỗi mặt.
  • \(p\) là số cạnh cùng đi qua một đỉnh.

Chỉ có \(5\) loại khối đa diện đều, đó các loại \(\left\{ {3;3} \right\},\left\{ {4;3} \right\},\left\{ {3;4} \right\},\left\{ {5;3} \right\},\left\{ {3;5} \right\}\)

Thể tích khối đa diện
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {n;p} \right\}\) có \(\text{Đ}\) đỉnh, \(C\) cạnh và \(M\) mặt thì: \(p\text{Đ} = 2C = nM\)
Khi trải phẳng các khối đa diện đều trên ta sẽ được các hình vẽ sau:
Thể tích khối đa diện

Định lý Ơ-le: Mọi khối đa diện lồi đều có \(D – C + M = 2\), ở đó \(D,C,M\) lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện.

Thể tích khối đa diện

Thể tích đa diện khối chóp

Kiến thức cần nhớ

a) Thể tích khối chóp
thể tích khối chóp
  • Thể tích khối đa diện dạng chóp: \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
  • Một phép vị tự tỉ số \(k\) biến khối đa diện có thể tích $V$ thành khối đa diện có thể tích \(V’\) thì: \(\dfrac{{V’}}{V} = {\left| k \right|^3}\)

b) Tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác

Nếu \(A’,B’,C’\) là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(SA,SB,SC\) của hình chóp tam giác \(S.ABC\). Khi đó:

thể tích khối chóp
Công thức trên chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác, để tính tỉ số các khối chóp \(n – \)giác thì cần chia thành các khối chóp tam giác để tính.

Phân dạng bài tập khối đa diện

Phương pháp chung để tính thể tích khối khối đa diện dạng chóp là tính diện tích đáy, tính chiều cao và tính thể tích theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Dưới đây là một số khối chóp đặc biệt thường gặp:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Công thức thể tích khối chóp

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp đều

Công thức thể tích khối chóp

Dạng 3: Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Công thức thể tích khối chóp đầy đủ

Dạng 4: Tính tỉ lệ thể tích các khối chóp.

  • Bước 1: Chia các khối chóp cần tính tỉ lệ thể tích thành các khối chóp tam giác tương ứng với nhau.
  •  Bước 2: Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích khối đa diện các khối chóp \(\dfrac{{{V_{S.A’B’C’}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA’}}{{SA}}.\dfrac{{SB’}}{{SB}}.\dfrac{{SC’}}{{SC}}\), ở đó \(A’ \in SA,B’ \in SB,C’ \in SC\)
Một số công thức tính thể tích khối tứ diện thường gặp trong đề thi
  • Tứ diện đều cạnh \(a\): \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
  • Tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông):
Tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = a,AC = b,AD = c\) ta có \(V = \dfrac{1}{6}abc\).
 Công thức tính thể tích sử dụng các độ dài, khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối diện của tứ diện: Tứ diện \(ABCD\) có \(AD = a,BC = b\), khi đó: \(V = \dfrac{1}{6}ab.\sin \left( {AD,BC} \right).d\left( {AD,BC} \right)\)
Tứ diện gần đều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau):
  • Tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a;BC = AD = b;AC = BD = c\) ta có: \(V = \dfrac{{\sqrt {12} }}{{12}}\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} – {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} – {b^2}} \right)} \)

Thể tích khối hộp, khối lăng trụ

1. Kiến thức cần nhớ

 Thể tích khối hộp, khối lăng trụ
  • Thể tích khối đa diện hình hộp chữ nhật: \(V = abc\) với \(a,b,c\) là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
  • Thể tích khối lập phương cạnh \(a:V = {a^3}\).
  • Thể tích khối lăng trụ: \(V = S.h\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính thể tích khối đa diện lăng trụ xiên
  • Bước 1: Xác định đường cao của lăng trụ và tính độ dài đường cao \(h\).
  • Bước 2: Tính diện tích đáy \(S\).
  • Bước 3: Tính thể tích khối lăng trụ bởi công thức \(V = Sh\).
Dạng 2: Tính thể tích khối đa diện lăng trụ đứng
  • Bước 1: Xác định diện tích đáy của lăng trụ.
  • Bước 2: Xác định chiều cao của lăng trụ (chính là độ dài cạnh bên của lăng trụ).
  • Bước 3: Tính thể tích khối đa diện của lăng trụ dựa vào công thức \(V = Sh\).

Bài viết trên chia sẻ toàn bộ kiến thức lý thuyết cũng nhưng dạng bài tập về khối đa diện, công thức thể tích khối đa diện thường gặp trong đề thi. Mọi thắc mắc vui lòng để lại bình luận bên dưới.