Chuyên đề năng lượng con lắc đơn dao động

năng lượng con lắc đơn

Năng lượng con lắc đơn lý tưởng gồm thế năng trọng trường và động năng chuyển động của con lắc. Năng lượng con lắc đơn tổng cộng là cơ năng, nó không đổi.

năng lượng con lắc đơn

năng lượng con lắc đơn

Trong bài viết này sẽ trình bày chi tiết cụ thể động năng con lắc; thế năng trọng trường con lắc; cơ năng của con lắc.

Xét một con lắc đơn lý tưởng gồm một sợi dây có chiều dài ℓ, vật nặng khối lượng m. Kích thích cho con lắc đơn dao động điều hòa thì

  • Phương trình li độ dao động con lắc s = So.cos(ωt + φ)
  • Phương trình vận tốc dao động con lắc v = – ωAsin(ωt + φ)

Khi đó năng lượng con lắc đơn gồm thế năng trọng trường và động năng chuyển động. Chọn mốc thế năng đàn hồi ở vị trí cân bằng của vật ta có:

  • Năng lượng thế năng
    $\begin{array}{l}
    {{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2}\\
    \,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2{\cos ^2}(\omega t + \varphi )\\
    \,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2 + \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2\cos (2\omega t + 2\varphi )
    \end{array}$
  • Năng lượng động năng
    $\begin{array}{l}
    {{\rm{W}}_d} = \frac{1}{2}m{v^2}\\
    \,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2{\sin ^2}(\omega t + \varphi )\\
    \,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2 + \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2.\sin (2\omega t + 2\varphi \pm \pi )
    \end{array}$

Lưu ý: Động năng và thế năng biến thiên với chu kì bằng một nửa chu kì dao động con lắc đơn ω’ = 2ω; $T’ = \frac{T}{2}$; f’ = 2f, φ$_t$ = 2φ

  • Cơ năng con lắc
    $\begin{array}{l}
    {\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {W_t}\\
    = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2}\\
    = \frac{1}{2}mv_{\max }^2 = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2
    \end{array}$

Để hiểu rõ về năng lượng con lắc đơn, chúng ta cùng nhau vào phần ví dụ minh họa.

Câu 1: Một con ℓắc đơn gồm một sợi dây có chiều dài ℓà ℓ = 100cm, vật nặng có khối ℓượng m = 1kg. Con ℓắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 0,1 rad tại nơi có g = 10m/s$^2$. Cơ năng toàn con ℓắc đơn ℓà:
A. 0,01J
B. 0,05J
C. 0,1J
D. 0,5J

Giải

Con lắc đơn có cơ năng
$\begin{array}{l}
{\rm{W = }}\frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2{\rm{ = }}\frac{1}{2}m.\frac{g}{\ell }.{\left( {{\alpha _0}\ell } \right)^2}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{2}m.g\ell \alpha _0^2 = 0,05\left( J \right)
\end{array}$
Chọn B.

Câu 2: Một con ℓắc đơn gồm quả cầu nặng khối ℓượng m = 500g treo vào một sợi dây mảnh dài 60cm. Khi con ℓắc đang ở vị trí cân bằng thì cung cấp cho nó một năng ℓượng 0,015J, khi đó con ℓắc sẽ thực hiện dao động điều hòa. Biết g = 10 m/s$^2$. Biên độ dao động của con ℓắc đơn ℓà:
A. 0,06rad
B. 0,1rad
C. 0,15rad
D. 0,18rad

Giải

Năng lượng cung cấp để con lắc dao động điều hòa chính là cơ năng:
$\begin{array}{l}
{\rm{W = }}\frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2{\rm{ = }}\frac{1}{2}m.\frac{g}{\ell }.{\left( {{\alpha _0}\ell } \right)^2}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{2}m.g\ell \alpha _0^2 \leftrightarrow {\alpha _0} = \sqrt {\frac{{2W}}{{m.g.\ell }}} = 0,1\left( {rad} \right)
\end{array}$

Câu 3: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì là 4 s. Động năng của con lắc đơn biến thiên tuần hoàn với chu kì là bao nhiêu?
A. 2 s.
B. 4 s.
C. 3 s.
D. 1 s.

Giải

Vì chu kì dao động con lắc đơn T = 4 s → T$_đ$ = 2 s.
Chọn: A.

Câu 4: Một con lắc đơn dao động điều hòa với tần số 0,5 Hz. Thế năng của con lắc đơn biến thiên tuần hoàn với chu kì là bao nhiêu?
A. 0,25 s.
B. 4 s.
C. 1 s.
D. 0,5 s.

Giải

Vì tần số dao động
$\begin{array}{l}
f = 0,5\left( {Hz} \right) \to T = \frac{1}{{0,5}} = 2\left( {Hz} \right)\\
\to T’ = \frac{T}{2} = 1\left( s \right)
\end{array}$
Chọn: C.

Câu 5: Một con ℓắc đơn dao động điều hòa với chu kỳ T. Thời gian để động năng và thế năng bằng nhau ℓiên tiếp ℓà 0,5s. Tính chiều dài con ℓắc đơn, lấy g = π$^2$.
A. 10cm
B. 20cm
C. 50cm
D. 100cm

Giải

$\begin{array}{l}
\frac{T}{4} = 0,5\left( s \right) \to T = 2\left( s \right)\\
\to \ell = {\left( {\frac{T}{{2\pi }}} \right)^2}.g = 1\left( m \right) = 100\left( {cm} \right)
\end{array}$
Chọn: D.

Câu 6: Hai con lắc đơn dao động điều hòa tại cùng một nơi trên mặt đất, có năng lượng như nhau. Quả nặng của chúng có cùng khối lượng, chiều dài dây treo con lắc thứ nhất dài gấp đôi chiều dài dây treo con lắc thứ hai. Quan hệ về biên độ góc của hai con lắc là?
A. ${\alpha _1} = 2{\alpha _2}.$
B. ${\alpha _1} = \frac{1}{2}{\alpha _2}.$
C. ${\alpha _1} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\alpha _2}.$
D. ${\alpha _1} = \sqrt 2 {\alpha _2}.$

Giải

Vì hai con lắc có cùng cơ năng:
$\begin{array}{l}
{W_1} = {W_2} \leftrightarrow \frac{1}{2}.mg{\ell _1}.\alpha _{01}^2 = \frac{1}{2}.mg{\ell _2}.\alpha _{02}^2\\
\leftrightarrow {\alpha _{01}} = {\alpha _{02}}.\sqrt {\frac{{2{\ell _1}}}{{{\ell _1}}}} = {\alpha _{02}}\sqrt 2
\end{array}$
Chọn D.

Câu 7: Cho con ℓắc đơn dao động điều hòa tại nơi có g = 10m/s$^2$. Biết rằng trong khoảng thời gian 12s thì nó thực hiện được 24 dao động, vận tốc cực đại của con ℓắc ℓà 6π cm/s. Lấy π$^2$ = 10. Giá trị góc ℓệch của dây treo ở vị trí mà ở đó thế năng của con ℓắc bằng động năng ℓà:
A. 0,04 rad
B. 0,01 rad
C. 0,08 rad
D. 0,12 rad

Giải

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta t = N.T = N.\frac{{2\pi }}{\omega } \leftrightarrow \omega = N.\frac{{2\pi }}{{\Delta t}}\\
{v_{\max }} = \omega {S_0}
\end{array} \right. \to {S_0} = \frac{{{v_{\max }}}}{{N.\frac{{2\pi }}{{\Delta t}}}}\\
{{\rm{W}}_d} = {W_t} \to s = \frac{{{S_0}}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{{\frac{{{v_{\max }}}}{{N.\frac{{2\pi }}{{\Delta t}}}}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\frac{{6\pi {{.10}^{ – 2}}}}{{24.\frac{{2\pi }}{{12}}}}}}{{\sqrt 2 }} = 0,01\left( {rad} \right)
\end{array}$
Chọn B.

Chu kì con lắc đơn trong dao động điều hòa

Chu kì con lắc đơn trong dao động điều hòa phụ thuộc chiều dài sợi dây treo vật ℓ và vị trí đặt con lắc g. Các dạng bài tập sẽ tập trung khai thác ℓ và g. Chúng ta cùng nhau khảo sát dạng này.

chu kì con lắc đơn trong dao động điều hòa

chu kì con lắc đơn trong dao động điều hòa

Ta biết con lắc đơn dao động điều hòa có phương trinh vi phân li độ dài s” + ω$^2$s = 0

  • Nghiệm của phương trình vi phân là  s = S$_0$cos(ωt + φ)
  • Tần số góc dao động $\omega = \sqrt {\frac{g}{\ell }} $
  • Chu kì dao động $T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} $
  • Tần số dao động $f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{\ell }} $

Nhận xét: Từ biểu thức trên cho ta thấy

  • Chu kì con lắc đơn tỉ lệ thuận với căn bậc 2 của ℓ ; tỉ lệ nghịch với căn bậc 2 của g
  • Chu kì con lắc đơn chỉ phụ thuộc vào ℓ và g; không phụ thuộc biên độ A và khối lượng m.

Với mong muốn làm rõ điều này hơn, chúng ta cùng nhau xét các ví dụ sau đây:
Câu 1 : Cho con lắc đơn chiều dài ℓ dao động nhỏ với chu kỳ T. Nếu tăng chiều dài con lắc gấp 4 lần và tăng khối lượng vật treo gấp 2 lần thì chu kỳ con lắc
A. Tăng 8 lần.
B. Tăng 4 lần.
C. Giảm 2 lần.
D. Tăng 2 lần.
Giải
$T = 2\pi \sqrt {\frac{{\ell ‘}}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{{4\ell }}{g}} = 2.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} = 2T$
Chọn: D.

Câu 2:Một con lắc đơn dao động điều hòa, nếu tăng chiều dài lên 25% thì chu kì dao động của nó
A. tăng 11,8%
B. tăng 56%
C. giảm 11,8%
D. giảm 25%
Giải
ℓ’ = ℓ + 25%ℓ = 1,25ℓ → T’ = $\sqrt {1,25} $ T = 1,118T → Chu kì tang 11,8$
Chọn: A.

Câu 3: Mặt trăng có khối lượng bằng 1/81 khối lượng Trái Đất và có bán kính 10/37 bán kính Trái Đất. Chu kì con lắc đơn tăng hay giảm bao nhiêu lần khi đưa từ Trái Đất lên mặt trăng, biết chiều dài con lắc không đổi?
A. giảm 2,43 lần
B. tăng 2,43 lần
C. giảm 21,9 lần
D. tăng 21,9 lần
Giải
$\left. \begin{array}{l}
{T_d} = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{{g_d}}}} = 2\pi .\sqrt {\frac{\ell }{{G.\frac{{{M_d}}}{{R_d^2}}}}} \\
{T_t} = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{{g_t}}}} = 2\pi .\sqrt {\frac{\ell }{{G.\frac{{{M_t}}}{{R_t^2}}}}}
\end{array} \right\} \to \frac{{{T_t}}}{{{T_d}}} = \sqrt {\frac{{{g_d}}}{{{g_t}}}} = \sqrt {\frac{{{M_d}}}{{{M_t}}}} .\frac{{{R_t}}}{{{R_d}}} = \sqrt {81} .\frac{{10}}{{37}} \approx 2,43$
Chọn: B.

Câu 4: Một con lắc đơn có dây treo chiều dài ℓ. Người ta thay đổi độ dài của nó tới giá trị ℓ’ sao cho chu kỳ con lắc đơn mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu. Hỏi chiều dài ℓ’ bằng bao nhiêu lần chiều dài ℓ?
A. ℓ’ = 1,11ℓ
B. ℓ’ = 0,81ℓ
C. ℓ’ = 1,23ℓ
D. ℓ’ = 0,9ℓ
Giải
$T’ = 90\% T = 0,9T \to \ell ‘ = 0,{9^2}\ell = 0,81\ell $
Chọn: B.

Câu 5: Hai con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ là 2s và 2,5s. Chu kì con lắc đơn có chiều dài bằng hiệu chiều dài 2 con lắc trên là
A. 0,44s
B. 0,67 s
C. 1,5s D. 2,25 s
Giải
$\begin{array}{l}
T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} \to \ell = {\left( {\frac{T}{{2\pi }}} \right)^2}.g \to \left\{ \begin{array}{l}
{\ell _1} = {\left( {\frac{{{T_1}}}{{2\pi }}} \right)^2}.g\\
{\ell _2} = {\left( {\frac{{{T_2}}}{{2\pi }}} \right)^2}.g\\
\ell = {\left( {\frac{T}{{2\pi }}} \right)^2}.g\\
\ell = {\ell _1} + {\ell _2}
\end{array} \right.\\
\to {\left( {\frac{T}{{2\pi }}} \right)^2}.g = {\left( {\frac{{{T_2}}}{{2\pi }}} \right)^2}.g – {\left( {\frac{{{T_1}}}{{2\pi }}} \right)^2}.g\\
\to T = \sqrt {T_1^2 – T_2^2} = \sqrt {2,{5^2} – {2^2}} = 1,5\left( s \right)
\end{array}$
Chọn: C.

Chuyên đề con lắc vướng đinh trong dao động

Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với chiều dài ℓ thì con lắc vướng đinh làm cho nó dao động với ℓ’ nên chu kì, tần số góc, biên độ góc,… cũng thay đổi theo. Đây là dạng tương đối hay, chúng ta cùng nhau khảo sát dạng này với mong muốn học sinh có thể hiểu rõ bản chất của nó hơn.

con lắc vướng đinh

con lắc vướng đinh

Chu kì T của CLVĐ : $T = \frac{1}{2}({T_1} + {T_2}) \to T = \frac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{\ell _1}} + \sqrt {{\ell _2}} )$
Độ cao CLVĐ so với VTCB : Vì ${{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_B} \Rightarrow {h_A} = {h_B}$
Tỉ số biên độ dao động 2 bên VTCB
– Góc lớn (${\alpha _0} > {10^0}$): Vì ${h_A} = {h_B} \to {\ell _1}(1 – cos{\alpha _1}) = {\ell _2}(1 – cos{\alpha _2}) \to \frac{{{\ell _1}}}{{{\ell _2}}} = \frac{{1 – \cos {\alpha _2}}}{{1 – \cos {\alpha _1}}}$
– Góc nhỏ (${\alpha _0} \le {10^0} \to c{\rm{os}}\alpha \approx 1 – \frac{{{\alpha ^2}}}{2}$): $\frac{{{\ell _1}}}{{{\ell _2}}} = {\left( {\frac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}}} \right)^2}$

Câu 1[TG]: Một con ℓắc đơn có chiều dài ℓ = 1m dao động điều hòa với chu kỳ T tại nơi có gia tốc trọng trường ℓà g = π$^2$ = 10m/s$^2$. Nhưng khi dao động khi đi qua vị trí cân bằng dây treo bị vướng đinh tại vị trí 0,5ℓ và con ℓắc tiếp tục dao động. Xác định chu kỳ của con ℓắc đơn khi này?
A. 2 s.
B. $\sqrt 2 $ s.
C. $2 + \sqrt 2 $ s.
D. $\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}$ s.
Giải
$T = \frac{1}{2}({T_1} + {T_2}) \to T = \frac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{\ell _1}} + \sqrt {{\ell _2}} ) = \frac{\pi }{{\sqrt {{\pi ^2}} }}(\sqrt 1 + \sqrt {0,5} ) = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\left( s \right)$
Chọn D.

Câu 2[TG]: Kéo con lắc đơn có chiều dài ℓ= 1m ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ so với phương thẳng đứng rồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng, dây treo bị vướng vào một chiếc đinh đóng dưới điểm treo con lắc một đoạn 36cm. Lấy g = π$^2$ m/s$^2$. Chu kì dao động của con lắc trước khi bị vướng đinh là
A. 3,6s.
B. 2,2s.
C. 1,99s.
D. 1,8s.
Giải
$T = \frac{1}{2}({T_1} + {T_2}) \to T = \frac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{\ell _1}} + \sqrt {{\ell _2}} ) = \frac{\pi }{{\sqrt {10} }}\left( {\sqrt 1 + \sqrt {1 – 0,36} } \right) = 1,8\left( s \right)$
Chọn D.

Câu 3[TG]: Một con lắc đơn có chiều dài ℓ. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc α$_0$ = 30$^0$ rồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng dây treo bị vướng vào một chiếc đinh nằm trên đường thẳng đứng cách điểm treo con lắc một đoạn 0,5ℓ. Tính biên độ góc β0 mà con lắc đạt được sau khi vướng đinh?
A. 34$^0$.
B. 30$^0$.
C. 45$^0$.
D. 43$^0$.
Giải
$\frac{{{\ell _1}}}{{{\ell _2}}} = {\left( {\frac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}}} \right)^2} \leftrightarrow \frac{\ell }{{0,5\ell }} = {\left( {\frac{{{\alpha _2}}}{{{{30}^0}}}} \right)^2} \leftrightarrow {\alpha _2} = 42,{43^0}$
Chọn D.

Câu 4[TG]: Chiều dài con lắc đơn 1 m. Phía dưới điểm treo O trên phương thẳng đứng có một chiếc đinh đóng vào điểm O′ cách O một khoảng OO′ = 50 cm. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α = 3$^0$ rồi thả nhẹ. Bỏ qua ma sát. Biên độ cong trước và sau khi vướng đinh là
A. 5,2 mm và 3,7 mm.
B. 3,0 cm và 2,1 cm.
C. 5,2 cm và 3,7 cm.
D. 5,27 cm và 3,76 cm
Giải
$\begin{array}{l}
{S_1} = {\alpha _1}.{\ell _1} = \left( {3.\frac{\pi }{{180}}} \right).1 = 0,052\left( m \right) = 5,2\left( {cm} \right)\\
\frac{{{\ell _1}}}{{{\ell _2}}} = {\left( {\frac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}}} \right)^2} \leftrightarrow \frac{1}{{0,5}} = {\left( {\frac{{{\alpha _2}}}{{{3^0}}}} \right)^2} \leftrightarrow {\alpha _2} = 4,{2426^0} = 0,074\left( {rad} \right)\\
\to {S_2} = {\alpha _2}.{\ell _2} = 0,074.0,5 = 0,037\left( m \right) = 3,7\left( {cm} \right)
\end{array}$
Chọn C.

Câu 5[TG]: Cho con ℓắc đơn có chiều dài dây ℓà ℓ$_1$ dao động điều hòa với biên độ góc α. Khi qua vị trí cân bằng dây treo bị mắc đinh tại vị trí ℓ$_2$ và dao động với biên độ góc α. Mối quan hệ giữa α và β.
A. $\beta = \alpha \sqrt {\frac{\ell }{g}} $
B. $\beta = \alpha \sqrt {\frac{{2{\ell _2}}}{{{\ell _1}}}} $
C. $\beta = \alpha \sqrt {\ell _1^2 + \ell _2^2} $
D. $\beta = \alpha \sqrt {\frac{{{\ell _1}}}{{{\ell _2}}}} $
Chọn D.

Dao động con lắc đơn trong trường trọng lực

con lắc đơn dao động trong trường trọng lực

Con lắc đơn đang dao động thì nó chịu tác dụng của lực quán tính, khi đó con lắc đơn sẽ dao động với gia tốc biểu kiến của con lắc đơn sẻ tăng hoặc giảm.

Một số kiến thức quan trọng:

con lắc đơn dao động trong trường trọng lực

con lắc đơn dao động trong trường trọng lực

Thang máy chuyển động đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a thì
$T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{\left| {g – a} \right|}}} $
Thang máy chuyển động đi lên nhanh dần đều hoặc đi xuống chậm dần đều với gia tốc a thì
$T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g + a}}} $
Thang máy chuyển động đi lên hoặc xuống với vận tốc không đổi: $T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} $
Xe ôtô chuyển động biến đổi đều (nhanh dần hoặc chậm dần đều) với gia tốc a thì: $T’ = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{\sqrt {{g^2} + {a^2}} }}} < T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} $

VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: Con lắc đơn dao động với chu kì 4s khi treo trong thang máy đứng yên. Nếu thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc g/6 thì chu kì dao động của con lắc là bao nhiêu?
A. 4,38 s.
B. 3,7 s.
C. 3,94 s.
D. 4,56 s.
Giải
Thang máy đi xuống chậm dần đều, gia tốc tăng:
$T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g + a}}} = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{\frac{{11}}{{10}}g}}} = \sqrt {\frac{6}{7}} .T = 4.\sqrt {\frac{6}{7}} \approx 3,7s$
Chọn: B.

Câu 2: Một con lắc đơn được treo vào trần của một thang máy đang đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s$^2$, con lắc đơn dao động điều hòa, trong thời gian Δt (s) con lắc thực hiện được 200 dao động toàn phần. Cho thang đi xuống chậm dần đều theo phương thẳng đứng với gia tốc có độ lớn không đổi bằng 100 (cm/s$^2$) thì con lắc dao động điều hòa, trong thời gian Δt (s) con lắc thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?
A. 209.
B. 210.
C. 189.
D. 200.
Giải
$\left. \begin{array}{l}
\Delta t = N.T = N.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} \\
\Delta t = N’.T’ = N’.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g + a}}}
\end{array} \right\} \to 200.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{10}}} \,\, = N’.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{10 + 1}}} \, \to N’ = 189,74$
Chọn: A.

Câu 3: Một con lắc đơn dao động điều hòa trong thang máy đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường g=9,8m/s$^2$ với năng lượng dao động là 150mJ, gốc thế năng là vị trí cân bằng của quả nặng. Đúng lúc vận tốc của con lắc bằng không thì thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc 2,5m/s$^2$. Con lắc sẽ tiếp tục dao động điều hòa trong thang máy với năng lượng dao động
A. 150 mJ.
B. 111,7 mJ.
C. 188,3 mJ.
D. 129,5 mJ.
Giải
$\frac{{\rm{W}}}{{W’}} = \frac{{\frac{1}{2}m\frac{g}{\ell }.S_0^2}}{{\frac{1}{2}m\frac{{g’}}{\ell }.S_0^2}} = \frac{{g + a}}{g} \to W’ = 188,3\left( {mJ} \right)$
Chọn: C.

Câu 4: Một con lắc đơn được treo vào trần của một thang máy đang đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,9225 m/s$^2$, con lắc đơn dao động điều hòa, trong thời gian Δt (s) con lắc thực hiện được 210 dao động toàn phần. Cho thang đi xuống nhanh dần đều theo phương thẳng đứng với gia tốc có độ lớn không đổi bằng 180 (cm/s$^2$) thì con lắc dao động điều hòa, trong thời gian Δt (s) con lắc thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?
A. 190.
B. 150.
C. 90.
D. 180.
Giải
$\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
\Delta t = N.T = N.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} \\
\Delta t = N’.T’ = N’.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g – a}}}
\end{array} \right\}\\
\to 210.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{9,9225}}} \,\, = N’.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{9,9225 – 1,8}}} \, \to N’ = 190
\end{array}$
Chọn: A.

Câu 5: Một con lắc đơn có chiều dài 50cm treo trong ôtô đang chuyển động ngang với gia tốc 5 m/s$^2$. Biết g = 10 m/s$^2$. Tính chu kì dao động bé của con lắc trong ôtô?
A. 0,397s
B. 1,509s
C. 1,328s
D. 1,404s
Giải
$T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{\sqrt {{g^2} + {a^2}} }}} = 2\pi \sqrt {\frac{{0,5}}{{\sqrt {{{10}^2} + {5^2}} }}} = 1,328s$
Chọn: C.

Câu 6: Một con lắc đơn được treo vào trần của một xe ô tô đang chuyển động theo phương ngang. Chu kỳ dao động của con lắc đơn trong trường hợp xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a là T$_1$ và khi xe chuyển động chậm dần đều với gia tốc a là T$_2$, xe chuyển thẳng đều là T$_3$. So sánh 3 chu kỳ này?
A. T$_3$ = T$_2$ < T$_1$
B. T$_1$ = T$_2$ < T$_3$
C. T$_1$ = T$_3$ < T$_2$
D. T$_1$ < T$_2$ < T$_3$
Giải
Khi xe chuyển động nhanh dần đều hoặc chậm dần đều với gia tốc có độ lớn là a thì phương của sợi dây thay đổi so với vị trí ban đầu còn chu kì dao động ${T_1} = {T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{\sqrt {{g^2} + {a^2}} }}} < T$
Khi xe chuyển động thẳng đều thì a = 0 → chu kì không thay đổiT$_3$ = T
Chọn: B.

Câu 7: Một con lắc đơn được treo tại trần của 1 toa xe, khi xe chuyển động đều con lắc dao động với chu kỳ 1s, cho g = 10m/s$^2$. Khi xe chuyển động nhanh dần đều theo phương ngang với gia tốc 3m/s$^2$ thì con lắc dao động với chu kỳ ?
A. 1,978s
B. 2,978s
C. 3,978s
D. 0,978s
Giải
$\left. \begin{array}{l}
T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} \\
T’ = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{\sqrt {{g^2} + {a^2}} }}}
\end{array} \right\} \to \frac{{T’}}{T} = \sqrt {\frac{g}{{\sqrt {{g^2} + {a^2}} }}} = 0,978 \to T’ = 0,978\left( s \right)$
Chọn: D.

Công thức tính vận tốc con lắc đơn dao động

Để tính tìm vận tốc con lắc đơn dao động điều hòa chúng ta có nhiều cách. Bài này giới thiệu các em một công thức độc lập thời gian để tìm vận tốc con lắc.

Xét một con lắc đơn lý tưởng. Kéo quả nặng theo phương tiếp tuyến của con lắc tới vị trí có phương dây hợp với phương thẳng đứng một góc α$_0$ rồi thả nhẹ. Hãy tìm biểu thức xác định vận tốc con lắc đơn ở li độ góc α?

vận tốc con lắc đơn

Theo định luật bảo toàn cơ năng:
$\begin{array}{l}
W = {W_d} + {W_t}\\
\leftrightarrow mg{h_0} = \frac{1}{2}m{v^2} + mgh\\
\leftrightarrow mg\ell \left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right) = \frac{1}{2}m{v^2} + mg\ell \left( {1 – \cos \alpha } \right)\\
\leftrightarrow v = \sqrt {2g\ell \left( {\cos \alpha – \cos {\alpha _0}} \right)}
\end{array}$

Vận tốc của vật ở li độ góc α trong dao động điều hòa của con lắc đơn:
$\left| v \right| = \sqrt {2g\ell (\cos \alpha – \cos {\alpha _0})} $

  • Khi vật ở vị trí biên (α = α$_0$) thì vận tốc theo phương tiếp tuyến: |v$_{min}$| = 0
  • Khi vật ở vị trí cân bằng (α = 0) thì vận tốc theo phương tiếp tuyến: $\left| {{v_{\max }}} \right| = \sqrt {2g\ell (1 – \cos {\alpha _0})} $

Chúng ta cùng nhau vào phần ví dụ:

Câu 1: Con lắc đơn gồm một sợi dây dài 10m, một đầu sợi dây treo vật nặng có khối lượng m, đầu còn lại gắn vị trí cố định. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 0,03 rad, ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s$^2$. Hãy tìm vận tốc con lắc đơn ở li độ góc α = 0,02 rad?
A. 0,39 cm/s.
B. 2,2 cm/s.
C. 22 cm/s.
D. 0,39 m/s.
Giải
$\left| v \right| = \sqrt {2g\ell (\cos \alpha – \cos {\alpha _0})} = \sqrt {2.10.10(\cos \left( {0,02} \right) – \cos \left( {0,03} \right))} = 0,22\left( {\frac{m}{s}} \right)$
Chọn: C.

Câu 2: Con lắc đơn gồm một sợi dây dài 1m, một đầu sợi dây treo vật nặng có khối lượng m, đầu còn lại gắn vị trí cố định. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 6$^0$, ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s$^2$. Hãy tìm vận tốc của con lắc ở li độ góc α = 10 rad?
A. 26 cm/s.
B. 33 cm/s.
C. 33 m/s.
D. 0,26 cm/s.
Giải
$\left\{ \begin{array}{l}
{\alpha _0} = {6^0} = \frac{\pi }{{30}}\left( {rad} \right)\\
{\alpha _0} = {1^0} = \frac{\pi }{{180}}\left( {rad} \right)\\
\left| v \right| = \sqrt {2g\ell (\cos \alpha – \cos {\alpha _0})}
\end{array} \right. \to \left| v \right| = \sqrt {2.10.1.\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{{180}}} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{{30}}} \right)} \right]} = 0,33\left( {\frac{m}{s}} \right)$
Chọn: B.

Câu 3: Con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình α = 0,04cos(10πt + π/6) rad. Hãy tìm vận tốc con lắc đơn ở li độ góc α = 0,02 rad? Biết g = 10m/s$^2$.
A. 1,5 cm/s.
B. 0,155 cm/s.
C. 1,55 cm/s.
D. 1,1 cm/s.
Giải
$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\omega ^2} = \frac{g}{\ell } \to \ell = \frac{g}{{{\omega ^2}}}}\\
{\left| v \right| = \sqrt {2g\ell (\cos \alpha – \cos {\alpha _0})} }
\end{array}} \right\} \to \left| v \right| = \sqrt {2\frac{g}{{{\omega ^2}}}(\cos \alpha – \cos {\alpha _0})} = 1,1\left( {\frac{m}{s}} \right).$
Chọn: C.

Câu 4: Con lắc đơn gồm một sợi dây dài 1m, một đầu sợi dây treo vật nặng có khối lượng m, đầu còn lại gắn vị trí cố định. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 3$^0$, ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s$^2$. Hãy tìm tốc độ cực tiểu của con lắc?
A. – 0,16 m/s.
B. 0.
C. 0,08 m/s.
D. 0,16 cm/s.

Giải
Tốc độ cực tiểu của con lắc khi nó ở vị trí biên: |vmin| = 0
Chọn: B.

Câu 5: Con lắc đơn gồm một sợi dây dài 2m, một đầu sợi dây treo vật nặng có khối lượng m, đầu còn lại gắn vị trí cố định. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ α$_0$ = 5$^0$, ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s$^2$. Hãy tìm vận tốc cực tiểu của con lắc?
A. 0,39 m/s.
B. 0.
C. 5,35 m/s.
D. – 0,39 m/s.
Giải
${v_{\min }} = – \sqrt {2g\ell (1 – \cos {\alpha _0})} = – \sqrt {2.10.2\left( {1 – \cos \left( {\frac{{5\pi }}{{180}}} \right)} \right)} = – 0,39\left( {\frac{m}{s}} \right)$
Chọn: D.

Câu 6: Một con lắc đơn gồm hòn bi có khối lượng m treo vào sợi dây dài ℓ = 1m dao động với biên độ α$_0$ = 6$^0$ ở nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s$^2$. Tìm tỉ số giữa vận tốc cực đại và vận tốc nơi có li độ góc α = 3$^0$?
A. 1,155
B. 0,866
C. 0,224
D. 2,100

Giải
$\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
{v_{m{\rm{ax}}}} = \sqrt {2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right)} \\
v = \sqrt {2g\ell \left( {c{\rm{os}}\alpha – \cos {\alpha _0}} \right)}
\end{array} \right\}\\
\to \frac{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}{v} = \frac{{\sqrt {2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right)} }}{{\sqrt {2g\ell \left( {c{\rm{os}}\alpha – \cos {\alpha _0}} \right)} }} = \sqrt {\frac{{1 – \cos {\alpha _0}}}{{c{\rm{os}}\alpha – \cos {\alpha _0}}}} = \sqrt {\frac{{1 – c{\rm{os}}{{\rm{6}}^0}}}{{c{\rm{os}}{3^0} – c{\rm{os}}{6^0}}}} = 1,15.
\end{array}$
Select: A.

Câu 7: Một con lắc đơn, dây treo dài ℓ, được treo tại nơi có gia tốc trọng trường g. Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng tới li độ góc α$_1$. Tại thời điểm ban đầu, người ta truyền cho quả cầu con lắc vận tốc $\overrightarrow {{v_1}} $theo phương vuông góc với sợi dây, để nó bắt đầu dao động xung quanh vị trí cân bằng. Bỏ qua mọi ma sát. Khi quả cầu đi qua vị trí cân bằng, vận tốc con lắc đơn của nó có độ lớn
A. $v = \sqrt {v_1^2 + g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _1}} \right)} .$
B. $v = \sqrt {v_1^2 + 2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _1}} \right)} .$
C. $v = \sqrt {v_1^2 + 2g\ell \left( {1 + \cos {\alpha _1}} \right)} .$
D. $v = \sqrt {v_1^2 – 2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _1}} \right)} .$
Giải
$\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
v_1^2 = 2g\ell \left( {c{\rm{os}}{\alpha _1} – \cos {\alpha _0}} \right)\\
v_{cb}^2 = 2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right)
\end{array} \right\}v_{cb}^2 – v_1^2 = 2g\ell \left( {1 – c{\rm{os}}{\alpha _1}} \right)\\
\to {v_{cb}} = \sqrt {v_1^2 + 2g\ell \left( {1 – \cos {\alpha _1}} \right)}
\end{array}$
Chọn: B.