Công thức tìm khoảng thời gian ngắn nhất

Để tìm khoảng thời gian ngắn nhất trong dao động điều hòa ta có nhiều cách nhưng trong bài viết này, chúng ta để cập đến công thức đặc biệt gọn và dễ nhớ.

Loading...
Khoảng thời gian ngắn nhất

Gọi x$_1$ và x$_2$  lần lượt là hai vị trí li độ một chất điểm dao động điều hòa ứng với thời điểm t$_1$ và t$_2$. Khi đó thời gian ngắn nhất được xác định theo công thức tổng quát sau:

  • Nếu x$_1$ và x$_2$ nằm hai bên vị trí cân bằng $\Delta t = \frac{1}{\omega }\left[ {\arcsin \left( {\frac{{\left| {{x_1}} \right|}}{A}} \right) + \arcsin \left( {\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{A}} \right)} \right]$
  • Nếu x$_1$ và x$_2$ nằm hai bên vị trí biên $\Delta t = \frac{1}{\omega }\left[ {\arccos \left( {\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{A}} \right) + \arccos \left( {\frac{{\left| {{x_1}} \right|}}{A}} \right)} \right]$

Lưu ý: Nếu x$_1$ hoặc x$_2$ trùng với vị trí cân bằng hoặc vị trí biên thì ta chỉ cần thay trực tiếp giá trị li độ đó vào biểu thức.

Câu 1: [Chuyên Sư Phạm Hà Nội] Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt –π/10), với x tính bằng cm, t tính bằng s. Xác định thời gian để vật đi từ vị trí 2,5cm đến -2,5cm.
A. 1/12 s.
B. 1/10 s.
C. 1/20 s.
D. 1/6 s.
Giải
Nhận thấy x1 và x2 nằm hai bên vị trí cân bằng nên khoảng thời gian ngắn nhất vật chuyển động từ li độ x1 đến li độ x2 là
$\Delta t = \frac{1}{\omega }\left[ {\arcsin \left( {\frac{{\left| {{x_1}} \right|}}{A}} \right) + \arcsin \left( {\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{A}} \right)} \right] = \frac{1}{{4\pi }}\left[ {\arcsin \left( {\frac{{\left| { – 2,5} \right|}}{5}} \right) + \arcsin \left( {\frac{{\left| {2,5} \right|}}{5}} \right)} \right] = \frac{1}{{12}}\left( s \right)$
Chọn A

Câu 2: [Chuyên Sư Phạm Vĩnh Phúc] Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2πt + π/8), với x tính bằng cm, t tính bằng s. Xác định khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần vật có li độ x = $ – 5\sqrt 3 $ cm?.
A. 1/12 s.
B. 1/18 s.
C. 1/24 s.
D. 1/6 s.
Giải
Nhận thấy, khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần vật có li độ x = $ – 5\sqrt 3 $ cm ứng với trường hợp vật đi từ vị trí $ – 5\sqrt 3 $cm theo chiều âm đến vị trí li độ $ – 5\sqrt 3 $theo chiều dương nghĩa là đối xứng qua biên âm. Áp dụng công thức:
$\begin{array}{l}
\Delta t = \frac{1}{\omega }\left[ {\arccos \left( {\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{A}} \right) + \arccos \left( {\frac{{\left| {{x_1}} \right|}}{A}} \right)} \right]\\
\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{2\pi }}\left[ {\arccos \left( {\frac{{\left| { – 5\sqrt 3 } \right|}}{{10}}} \right) + \arccos \left( {\frac{{\left| { – 5\sqrt 3 } \right|}}{{10}}} \right)} \right] = \frac{1}{6}\left( s \right)
\end{array}$
Chọn D

Câu 3: [Chuyên Sư Phạm Vinh] Chất điểm dao động điều hòa được mô tả bằng phương trình x = $2\sqrt 3 $sin(3πt – 11π/24), với x tính bằng cm, t tính bằng s. Xác định khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí li độ $\sqrt 3 $ cm theo chiều dương đến li độ 3 cm theo chiều âm?
A. 1/12 s.
B. 1/18 s.
C. 1/24 s.
D. 1/6 s.
Giải
Nhận thấy, hai vị trí trên nằm hai bên biên độ dương. Áp dụng công thức:
$\begin{array}{l}
\Delta t = \frac{1}{\omega }\left[ {\arccos \left( {\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{A}} \right) + \arccos \left( {\frac{{\left| {{x_1}} \right|}}{A}} \right)} \right]\\
\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{3\pi }}\left[ {\arccos \left( {\frac{{\left| {\sqrt 3 } \right|}}{{2\sqrt 3 }}} \right) + \arccos \left( {\frac{{\left| 3 \right|}}{{2\sqrt 3 }}} \right)} \right] = \frac{1}{6}\left( s \right)
\end{array}$
Chọn D

Câu 4: [ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2011] Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(2πt/3) (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = – 2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm
A. 3015 s.
B. 6030 s.
C. 3016 s.
D. 6031 s.
Giải
Trong một chu kì vật đi qua li độ x = – 2 cm hai lần.
$t = 0 \to x = 4\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}.0} \right) = 4\left( {cm} \right)$ → Vật ở vị trí biên dương.
Thời gian ngắn nhất vật đi từ biên dương tới li độ x = – 2 cm là
$t = \frac{T}{4} + \frac{1}{\omega }arcsin\frac{{\left| x \right|}}{A} = \frac{T}{4} + \frac{T}{{2\pi }}arcsin\frac{{\left| { – 2} \right|}}{4} = \frac{T}{3}$
Phân tích: 2011 = 1 + 1005.2
Vậy: t = T/3 + 1005.T = $\frac{{3016T}}{3} = \frac{{3016}}{3}\left( s \right)$

Câu 5: [ ĐỀ THI 2017] Một vật dao động theo phương trình x = 5cos(5πt – π/3) (cm) (t tính bằng s). Kể từ t = 0 thời điểm vật qua vị trí có li độ x = – 2,5 cm lần thứ 2017 là
A. 401,6 s.
B. 403,5 s.
C. 403,4 s.
D. 401,3 s.
Giải
Trong 1 chu kì vật qua li độ x = – 2,5 cm hai lần.
$t = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = 2,5\left( {cm} \right) = \frac{A}{2}\\
v > 0
\end{array} \right. \to $Thời gian ngắn nhất vật chuyển động từ vị trí (x = A/2 theo chiều dương) tới li độ li độ x = – A/2 theo chiều âm là t = T/2
Phân tích: 2017 = 1 + 1008.2
Vậy: t = T/2 + 1008T = 1008,5T = $1008,5.\frac{{2\pi }}{{5\pi }} = 403,4\left( s \right)$

Câu 6:Một chất điểm dao động điều hòa theo phương ngang, biết chất điểm khối lượng m = 100g và lực kéo về cực đại tác dụng vào vật là 2(N) khi qua VTCB thì vận tốc 2m/s. Tại t = 0 vật qua vị trí $\frac{{A\sqrt 2 }}{2}$ theo chiều dương.
a) tìm thời điểm lần 2017 vật qua x=A/2
b. Tìm thời điểm lần 2017 vật cách VTCB đoạn A/2
Giải
$\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
{v_{\max }} = 2\left( {\frac{m}{s}} \right) = \omega A\\
{F_{\max }} = 2\left( N \right) = m{\omega ^2}A = m\omega \left( {\omega A} \right)\\
m = 100\left( g \right) = 0,1\left( {kg} \right)
\end{array} \right\} \to 2 = 0,1.\omega .2\\
\to \omega = 10\left( {\frac{{rad}}{s}} \right) \to T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{\pi }{5}\left( s \right)\\
t = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{A\sqrt 2 }}{2}\\
v > 0
\end{array} \right.
\end{array}$

a) tìm thời điểm lần 2017 vật qua x=A/2
Theo hình vẽ, ta thấy thời gian vật chuyển động từ M0 đến M là ∆t = T/8 + T/6 = 7T/24
Ta thấy, điểm M chính là lần đầu tiên vật qua vị trí A/2 lần đầu tiên.
Trong một chu kì vật qua vị trí có li độ x = A/2 là 2 lần:
Ta thấy: 2017 = 1 + 1008.2
∆t’ = 7T/24 + 1008.T = 633,53(s)
Đáp án ∆t’ = 633,53(s)
b) Tìm thời điểm lần 2017 vật cách VTCB đoạn A/2
Trong một chu kì vật qua vị trị cách vị trí cân bằng A/2 là 4 lần
Ta thấy: 2017 = 1 + 504.4
∆t = 7T/24 + 504.T = 316,855(s)
Đáp án ∆t’ = 316,855 (s)

Lưu ý: Giải cách trên bằng phương pháp đại số
a) Ta thầy li độ nằm hai bên vị trí biên mà trong 1 chu kì vật qua li độ A/2 là hai lần nên:
Ta thấy: 2017 = 1 + 1008.2
$\begin{array}{l}
\Delta t’ = \Delta t + 1008T = \\
= \frac{1}{\omega }\left[ {arcc{\rm{os}}\frac{{\left| {{x_1}} \right|}}{A} + arcc{\rm{os}}\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{A}} \right] + 1008T\\
= \frac{1}{{10}}\left[ {arcc{\rm{os}}\frac{{\left| {\frac{{A\sqrt 2 }}{2}} \right|}}{A} + arcc{\rm{os}}\frac{{\left| {\frac{A}{2}} \right|}}{A}} \right] + 1008T = 633,528\left( s \right)
\end{array}$
b) Ta thầy li độ nằm hai bên vị trí biên mà trong 1 chu kì vật cách vị trí cân bằng A/2 là 4 lần nên:
Ta thấy: 2017 = 1 + 504.4
$\begin{array}{l}
\Delta t’ = \Delta t + 504T = \\
= \frac{1}{\omega }\left[ {arcc{\rm{os}}\frac{{\left| {{x_1}} \right|}}{A} + arcc{\rm{os}}\frac{{\left| {{x_2}} \right|}}{A}} \right] + 504T\\
= \frac{1}{{10}}\left[ {arcc{\rm{os}}\frac{{\left| {\frac{{A\sqrt 2 }}{2}} \right|}}{A} + arcc{\rm{os}}\frac{{\left| {\frac{A}{2}} \right|}}{A}} \right] + 504T = 316,855\left( s \right)
\end{array}$

Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *