8+ công thức tích phân đầy đủ

Tích phân là kiến thức quan trọng, để học tốt thì học sinh cần nhớ toàn bộ công thức tích phân. Bài viết này sẽ giới thiệu toàn bộ công thức và hệ thống các dạng tích phân thường gặp trong đề thi. Chỉ cần nhớ và vận dụng thành thạo là bạn đã đạt điểm tối đa.

Cơ sở lý thuyết

Khái niệm tích phân

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right],F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Hiệu \(F\left( b \right) – F\left( a \right)\) được gọi là tích phân của \(f\) từ \(a\) đến \(b\). Kí hiệu:

$I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) – F\left( a \right)$

Tính chất tích phân

Giả sử các hàm số \(f,g\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],c\) là điểm bất kì thuộc \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó ta có:

  1. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
  2. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = – \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
  3. \(\int\limits_a^b {k.f\left( x \right)dx} = k.\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
  4. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \)
  5. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\) \(\forall b \in \left[ {a;c} \right]\)
  6. \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} \) \(= \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
  7. Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0\)
  8. Nếu \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

Công thức tích phân cơ bản

Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân các hàm số cơ bản (đa thức, lượng giác, mũ,…) các em cần chú ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản kết hợp với công thức Leibnitz: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) – F\left( a \right)\)

ở đó, \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

công thức tích phân

Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với các tích phân dạng \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \), phương pháp chung là ta cố gắng phá dấu giá trị tuyệt đối hàm \(f\left( x \right)\) trên từng khoảng nhỏ nằm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) rồi tính lần lượt các tích phân đó.

Phương pháp biến đổi từ công thức tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ

  • Vi phân: \(\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u’\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u’\left( t \right)dt = v’\left( x \right)dx\end{array}\)
  • Công thức đổi biến: \(\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u’\left( x \right)dx}  = \int\limits_{t\left( a \right)}^{t\left( b \right)} {f\left( t \right)dt} \)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).

  •  Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a’\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b’\end{array} \right.\) .
  • Bước 2: Tính vi phân \(dt = u’\left( x \right)dx\).
  • Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
  • Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a’}^{b’} {g\left( t \right)dt} \).

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).

  • Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a’\\x = b \Rightarrow t = b’\end{array} \right.\).
  • Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u’\left( t \right)dt\).
  • Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u’\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).
  • Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a’}^{b’} {g\left( t \right)dt} \)

Phương pháp tính tích phân từng phần

Kiến thức cần nhớ

Công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {\left( {uv} \right)} \right|_a^b – \int\limits_a^b {vdu} \)

2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \)  (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)
  • Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \)

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)
  • Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx}  = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \)

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v =  – \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)
  •  Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \)

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)
  • Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {udv}  = \left. {uv} \right|_m^n – \int\limits_m^n {vdu} \)

Hy vọng với bài viết này sẽ giúp ích bạn đạt kết quả cao.