9+ Các công thức logarit đầy đủ

Trong đề thi tham khảo của BGD&ĐT, số câu thuộc chương công thức logarit và mũ có 9 câu (1,8 điểm). Đây là chương có nhiều số câu nhất, nhiều câu khó nhất. Vì là chương quan trọng nên lop.edu.vn sẽ hệ thống toàn bộ kiến thức từ căn bản tới nâng cao với mong muốn bạn đạt kết quả cao

Công thức logarit

Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa

Với a>0; a≠1, b>0 thì \({\log _a}b = N \Leftrightarrow b = {a^N}\). Số \({\log _a}b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b.
  • Không có logarit của số âm, nghĩa là b > 0.
  • Cơ số phải dương và khác 1, nghĩa là 0 < a ≠ 1.
  • Theo định nghĩa logarit ta có: ${\log _a}1 = 0;$ ${\log _a}a = 1;$ ${\log _a}{a^b} = b,$ ∀b ∈ R; ${a^{{{\log }_a}b}} = b,$ ∀b > 0.

Tính chất công thức logarit

  1. Nếu a > 1;b,c > 0 thì \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).
  2. Nếu 0 < a < 1;b,c > 0 thì \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\).
  3. \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\) \( \left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)\)
  4. \({\log _a}\left( {\dfrac{b}{c}} \right) = {\log _a}b – {\log _a}c\) \( \left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)\)
  5.  \({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0} \right)\)
  6.  \({\log _a}\dfrac{1}{b} = – {\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0} \right)\)
  7.  \({\log _a}\sqrt[n]{b} = {\log _a}{b^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\) \( \left( {0 < a \ne 1;b > 0;n > 0;n \in {N^*}} \right)\)
  8.  \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c \Leftrightarrow {\log _b}c = \dfrac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\) \(\left( {0 < a,b \ne 1;c > 0} \right)\)
  9.  \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}} \Leftrightarrow {\log _a}b.{\log _b}a = 1\) \(\left( {0 < a,b \ne 1} \right)\)
  10.  \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\) \(\left( {0 < a \ne 1;b > 0;n \ne 0} \right)\)

Hệ quả

  1.  Nếu a > 1;b > 0 thì \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1;\) \({\log _a}b < 0 \Leftrightarrow 0 < b < 1\).
  2.  Nếu 0 < a < 1;b > 0 thì \({\log _a}b < 0 \Leftrightarrow b > 1;\) \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow 0 < b < 1\).
  3. Nếu \(0 < a \ne 1;b,c > 0\) thì \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\).

Logarit thập phân \({\log _{10}}b = \log b\left( { = \lg b} \right)\) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số a.

Công thức logarit tự nhiên

Logarit tự nhiên

Định nghĩa:

  • Logarit cơ số e của 1 số dương a được gọi là logarit tự nhiên (logarit Nê-pe) của số a và kí hiệu là \(\ln a\).
  • \(\ln a = b \Leftrightarrow a = {e^b}\left( {a > 0} \right);e \approx 2,71828…\)

Tính chất

Lôgarit tự nhiên có đầy đủ tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

Công thức lãi kép liên tục (hoặc công thức tăng trưởng mũ)

\(T = A.{e^{Nr}}\), ở đó A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất, N là số kì hạn.

Đạo hàm logarit

Công thức logarit hàm cơ bản

  • $\left( {\ln x} \right)’ = \frac{1}{x}$
  • $\left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \frac{1}{{x.\ln a}}$

Công thức logarit hàm hợp

  • $\left( {{\mathop{\rm lnu}\nolimits} } \right)’ = \frac{{u’}}{u}$
  • $\left( {{{\log }_a}u} \right)’ = \frac{{u’}}{{u.\ln a}}$

Phân dạng bài tập về logarit

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức logarit tự nhiên.

Bước 1: Biến đổi các biểu thức có chứa ln sử dụng những tính chất của logarit tự nhiên.

Bước 2: Thực hiện tính toán dựa vào thứ tự thực hiện phép tính:

  • Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.
  •  Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc n) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh các biểu thức có chứa logarit tự nhiên.

Bước 1: Đơn giản các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng tính chất của logarit và logarit tự nhiên.

Bước 2: So sánh các biểu thức sau khi đơn giản, sử dụng một số tính chất của so sánh logarit.

Dạng 3: Biểu diễn một logarit hoặc rút gọn biểu thức có chứa logarit qua các logarit đã cho.

Bước 1: Tách biểu thức cần biểu diễn ra để xuất hiện các logarit đề bài cho bằng cách sử dụng các tính chất của logarit.

Bước 2: Thay các giá trị bài cho vào và rút gọn sử dụng thứ tự thực hiện phép tính:

  •  Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.
  • Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc n) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

Dạng 4: Bài toán lãi kép liên tục.

Một người gửi vào ngân hàng số tiền A đồng, lãi suất r theo năm, tính số tiền có được sau N năm.

Sử dụng công thức tăng trưởng mũ: \(T = A.{e^{Nr}}\), ở đó A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất, N là số kì hạn.

Phương trình logarit

Phương trình logarit cơ bản

  • Phương trình \({\log _a}x = m\left( {0 < a \ne 1} \right)\) được gọi là phương trình logarit cơ bản.
  • Điều kiện xác định: x > 0
  • Với mọi \(m \in R\) thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^m}\).

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số.

  • Bước 1: Biến đổi các logarit về cùng cơ số.
  • Bước 2: Sử dụng kết quả \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)
  • Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ở trên.
  • Bước 4: Kết hợp điều kiện và kết luận nghiệm.

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ.

  • Bước 1: Tìm \({\log _a}f\left( x \right)\) chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.
  • Bước 2: Giải phương trình chứa ẩn phụ, kiểm tra điều kiện.
  • Bước 3: Thay ẩn phụ và giải phương trình đối với ẩn ban đầu.
  • Bước 4: Kết luận nghiệm.

Dạng 3: Phương pháp mũ hóa.

Phương trình có dạng \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

  • Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
  • Bước 2: Lấy lũy thừa cơ số \(a\) hai vế:
    \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}\)
  •  Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(x\).
  • Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Dạng 4: Phương trình đưa về phương trình tích.

  • Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
  • Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
  • Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm.
  • Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

Dạng 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.

  • Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
  •  Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu.

  • Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.
  • Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.

Bất phương trình logarit

Kiến thức cần nhớ

Tính đơn điệu của các hàm số \(y = {\log _a}x\)

  • Với 0 < a < 1 thì hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến.
  • Với a > 1 thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến.

Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.

  • Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
  • Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.
  • Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.
    Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của cơ số a.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

  • Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
  • Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo m nghiệm của bất phương trình.
  • Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

Trên là bài chia sẻ về logarit, những công thức logarit, tính chất… Hy vọng sẽ giúp ích được bạn. Mọi thắc mắc vui lòng để lại dưới bình luận