Chuyên đề tổng hợp dao động cơ điều hòa

chuyên đề tổng hợp dao động cơ điều hòa

Muốn biết chuyển động của một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động đồng điều hòa, có nhiều cách, trong chuyên đề tổng hợp dao động cơ điều hòa này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một công thức tổng quát giải được tất cả các dạng bài tổng hợp dao động. Chúng ta cùng nhau vào chuyên đề:

chuyên đề tổng hợp dao động cơ điều hòa

chuyên đề tổng hợp dao động cơ điều hòa

Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có phương trình lần lượt là:

  • Phương trình dao động thứ nhất: x$_1$ = A$_1$cos(ωt + φ$_1$)
  • Phương trình dao động thứ hai x$_2$ = A$_2$cos(ωt + φ$_2$)

Hai dao động trên cùng phương, cùng tần số nên dao động tổng hợp có phương trình

x = x$_1$ + x$_2$ = Acos(ωt + φ)

trong đó:

  • Biểu thức biên độ dao động: ${A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} – {\varphi _1}} \right)$
  • Biểu thức pha ban đầu của dao động: $\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}$

Biên độ dao động tổng hợp phụ thuộc vào độ lệch pha.

  • Nếu ∆φ = 2kπ thì A = A$_1$ + A$_2$
  • Nếu ∆φ = (2k + 1)π thì A = |A$_1$ – A$_2$|
  • Nếu ∆φ bất kì thì |A$_1$ – A$_2$| ≤ A ≤ A$_1$ + A$_2$

Câu 1[TG]: Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là x1 = 2√3sin(10πt + 5π/6)cm và x2 = – √3cos(10πt)cm. Phương trình dao động tổng hợp của 2 dao động là
A. x = 2cos(10πt)cm
B. x = 3cos(10πt + π/2)cm
C. x = 2√3cos(10πt + 5π/6)cm
D. x = √15cos(10πt)cm
Giải
$\begin{array}{l}
{x_1} = 2\sqrt 3 \sin \left( {10\pi t + \frac{{5\pi }}{6}} \right)\\
= 2\sqrt 3 \cos \left( {10\pi t + \frac{{5\pi }}{6} – \frac{\pi }{2}} \right)\\
= 2\sqrt 3 \cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)cm\\
\left\{ \begin{array}{l}
{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} – {\varphi _1}} \right)\\
\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
A = 3cm\\
\varphi = + \frac{\pi }{2}rad
\end{array} \right.
\end{array}$
Chọn: B.

Câu 2[TG]: Phương trình tổng hợp dao động của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tấn số có phương trình x = 3cos(πt – 5π/6) cm. Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x1 = 5cos(πt + π/6) cm. Dao động thứ hai có phương tình li độ là
A. x2 = 8cos(πt + π/6) cm
B. x2 = 2cos(πt + π/6) cm
C. x2 = 2cos(πt – 5π/6) cm
D. x2 = 8cos(πt – 5π/6) cm
Giải
x = x1 + x2
→ x2 = x – x1 = 3cos(πt – 5π/6) – 5cos(πt + π/6)
= 3cos(πt – 5π/6) + 5cos(πt + π/6 – π)
= 3cos(πt – 5π/6) + 5cos(πt – 5π/6) = 8cos(πt – 5π/6) cm
Chọn: D.

Câu 3[TG]: [ĐH – 2008] Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban đầu là π/3 và –π/6 (phương trình dạng cos). Pha ban đầu của tổng hợp dao động hai dao động trên bằng
A. π/2.
B. π/4.
C. π/6.
D. π/12.

Giải
$\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
{A_1} = {A_2} = A\\
{\varphi _1} = \frac{\pi }{3}\\
{\varphi _2} = – \frac{\pi }{6}\\
\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}
\end{array} \right\}\\
\to \tan \varphi = \frac{{A\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) + A\sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)}}{{A\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) + A\cos \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)}} = 2 – \sqrt 3 \to \varphi = \frac{\pi }{{12}}
\end{array}$
Chọn: D.
Câu 4[TG]: Cho hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số, biên độ lần lượt là a và và pha ban đầu tương ứng là φ1 = 2π/3; φ2 = π/6. Pha ban đầu của  tổng hợp dao động là:
A. π/2.
B. π/3.
C. ‒π/2.
D. 2π/3.

Giải
$\left. \begin{array}{l}
{A_1} = a\\
{A_2} = a\sqrt 3 \\
{\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{3}\\
{\varphi _2} = \frac{\pi }{6}
\end{array} \right\} \to \tan \varphi = \frac{{a\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + a\sqrt 3 \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right)}}{{a\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) + a\sqrt 3 \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)}} = \sqrt 3 \to \varphi = \frac{\pi }{3}$
Chọn: B.

Câu 5[TG]: Một vật dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = 4cos(100t) (cm); x2 = 4cos(100t + π/2) (cm). Hãy xác định phương trình dao động tổng hợp
A. x = 4cos(100t + π/4) cm.
B. x = $4\sqrt 2 $cos(100t + π/8) cm.
C. x = $4\sqrt 2 $cos(100t + π/4) cm.
D. x = 4cos(100t + 3π/4) cm
Giải
$\begin{array}{l}
A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} – {\varphi _1}} \right)} = 4\sqrt 2 \left( {cm} \right)\\
\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}} = 0,414 \to \varphi = \frac{\pi }{4}
\end{array}$
Chọn: C.

Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

Nếu một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hòa, muốn tìm tổng hợp dao động điều hòa đó thì điều kiện hai dao động đó phải cùng phương, cùng tần số. Trong bài viết này tác giá sẽ đề cập đến kiến thức căn bản:

I. Điều kiện để tổng hợp dao động điều hòa
Điều kiện: Hai dao động điều hòa phải cùng phương và cùng tần số

II. Phương trình tổng hợp dao động điều hòa theo chiều thuận
Giả sử một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2)
Khi đó, dao động điều hòa tổng hợp sẽ là một dao động cùng phương, cùng tần số với hai dao động trên và có phương trình li độ x = Acos(ωt + φ).

Tổng Hợp Hai Dao động Điều Hòa

Trong đó:
Biên độ dao động tổng hợp: ${A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}c{\text{os}}({\varphi _2} – {\varphi _1}) $
Pha ban đầu dao động tổng hợp $\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}c{\text{os}}{\varphi _1} + {A_2}c{\text{os}}{\varphi _2}}} $ với φ1 ≤ φ ≤ φ2 (nếu φ1 ≤ φ2 )

Một số trường hợp đặc biệt
– Nếu độ lệch pha: ∆φ = 2kπ (x1, x2 cùng pha) → A$_{max}$ = A1 + A2
– Nếu độ lệch pha:  ∆φ = (2k+1)π (x1, x2 ngược pha) → A$_{min}$ = |A1 – A2|
– Nếu độ lệch pha là bất kì thì biên độ dao động sẽ: |A1 – A2| ≤ A ≤ A1 + A2

II. Phương trình tổng hợp dao động điều hòa theo chiều nghịch
Nếu bài toàn lại cho ta biết phương trình dao động tổng hợp x = Acos(ωt + φ) và một phương trình dao thành phần x1 = A1cos(ωt + φ1) thì ta hoàn toàn có thể tìm được phương trình dao động điều hòa thành phần còn lại x2 = A2cos(ωt + φ2).
Trong đó:

  • Biên độ dao động điều hòa thành phần thứ hai: $A_2^2 = {A^2} + A_1^2 – 2A{A_1}c{\text{os}}(\varphi – {\varphi _1}) $
  • Pha dao động điều hòa của thành phần thứ hai: $\tan {\varphi _2} = \frac{{A\sin \varphi – {A_1}\sin {\varphi _1}}}{{Ac{\text{os}}\varphi – {A_1}c{\text{os}}{\varphi _1}}} $ với φ1 ≤ φ ≤ φ2 ( nếu φ1 ≤ φ2 )

II. Phương trình tổng hợp dao động điều hòa của nhiều dao động thành phần
Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x1 = A1cos(ωt + φ1;
x2 = A2cos(ωt + φ2) … thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
x = Acos(ωt + φ).

Phương pháp giải:
Bước 1: Chiếu các dao động điều hòa lên trục Ox, sao đó tìm biên độ dao động tổng hợp theo phương Ox
A$_{x}$ = Acosφ = A$_{1}$cosφ$_{1}$ + A$_{2}$cosφ$_{2}$+…
Bước 2: Chiếu các dao động điều hòa lên trục Oy, sao đó tìm biên độ dao động tổng hợp theo phương Oy
A$_{y}$ = Asinφ = A$_{1}$sinφ$_{1}$ + A$_{2}$sinφ$_{2}$+…
Bước 3: Biên độ và pha ban đầu của dao động điều hòa tổng hợp

Biên độ dao động tổng hợp $ {A^2} = A_x^2 + A_y^2 $
Độ lệch pha dao động tổng hợp $ \tan \varphi = \frac{{{A_y}}}{{{A_x}}} $