Phân biệt giữa nghiệm đơn và nghiệm kép vô tỷ

1. Nghiệm đơn vô tỷ
Nghiệm đơn vô tỷ x = a là một nghiệm vô tỷ của một đa thức P(x) (thông thường ở dạng bâc 2) và một phương trình f(x) = 0 có thể được phân tích nhân tử dưới dạng.
Ví dụ xét phương trình: $x^{2}-1-\sqrt{x+1}=0$

nghiệm đơn và nghiệm kép vô tỷ

2. Nghiệm kép vô tỷ
Nghiệm kép vô tỷ x = a là một nghiệm vô tỷ của một đa thức P(x) (thông thường ở dạng bâc 2) và một phương trình f(x) = 0 có thể được phân tích nhân tử dưới dạng [P(x)]$^2$g(x)=0
Ví dụ xét phương trình: $x^{2}+3x+2=x\sqrt{x+1}+(x+1)\sqrt{3x+2}$

nghiệm đơn và nghiệm kép vô tỷ 1

Ta thấy phương trình không có một giá trị nào đổi dấu (ta có cảm giác gần như vô nghiệm). Nhưng thực ra không hẳn vậy, bởi nếu như là một nghiệm vô tỷ và hàm số tiếp xúc với trục hoành (nghiệm kép) thì TABLE không thể thể hiện được nghiệm, và thay vào đó ta nhận thấy điểm thấp nhất trong bảng giá trị đó là , tại đây ta dự đoán: Phương trình có nghiệm kép vô tỷ với giá trị rất gần với x = 1,5

nghiệm đơn và nghiệm kép vô tỷ 2

nghiệm đơn và nghiệm kép vô tỷ 2

Vậy các liên hợp cần tạo ra là ${\left( {x – \sqrt {x + 1} } \right)^2},{\left( {x + 1 – \sqrt {3x + 2} } \right)^2}$
Chú ý: Vì là nghiệm kép nên liên hợp phải có chứa bình phương

Phân biệt giữa nghiệm đơn và nghiệm bội hữu tỷ

1. Nghiệm Đơn
Nghiệm đơn x = a là nghiệm mà tại đó phương trình f(x) = 0 được phân tích thành nhân tử có dạng (x – a).g(x) = 0

Phân biệt giữa nghiệm đơn và nghiệm bội hữu tỷ

Phân biệt giữa nghiệm đơn và nghiệm bội hữu tỷ

2. Nghiệm Kép
Nghiệm kép x = a là nghiệm mà tại đó phương trình f(x) = 0 được phân tích thành nhân tử có dạng (x – a)$^2$.g(x) = 0

nghiệm kép

3. Nghiệm bội ba
Nghiệm bội 4 x = a là nghiệm mà tại đó phương trình f(x) = 0 được phân tích thành nhân tử có dạng (x-a)$^3$.g(x) = 0
Ví dụ: $x^{3}+x+1=\sqrt[3]{3x^{2}+3x+1}$

Thật ra nghiệm bội 3 ban đầu rất gần giống nghiệm đơn, tuy nhiên điểm khác nhau lớn nhất giữa hai nghiệm này nằm ở chỗ nghiệm bội 3 là nghiệm kép của phương trình f'(x) = 0

Đây chính là sự khác biệt giữa nghiệm đơn và nghiệm bội 3. Thực chất cách kiểm tra trên không hoàn toàn khẳng định 100% là nghiệm bội 3, vì các nghiệm bội 5, bội 7 đều có cùng tính chất như trên, tuy nhiên với chương trình phổ thông hiện nay thì các nghiệm bội 5 và 7 tác giả sẽ tạm thời thừa nhận là không tồn tại.

Chú ý: Việc sử dụng START, END, STEP là vô cùng quan trọng bởi học sinh rất dễ nhầm và rất dễ mắc sai lầm trong việc đánh giá nghiệm có bản chất là đơn hay bội, và bội là bội kép hay bội 3. Chính vì vậy, dù máy tính đã hỗ trợ trong việc định hướng phương trình nhưng tư duy của con người vẫn là yếu tố hàng đầu để đưa ra một quyết định đúng đắn nhất.

Nguồn: Thầy Đoàn Trí Dũng

Phân biệt giữa nghiệm hữu tỉ và nghiệm vô tỷ

Việc biết một phương trình có bao nhiêu nghiệm, nghiệm đó là nghiệm vô tỷ hay hữu tỷ là vô cùng quan trọng. Để biết rõ hơn ta tham khảo một phương trình như sau:

Phân biệt giữa nghiệm hữu tỉ và nghiệm vô tỷ

Phân biệt giữa nghiệm hữu tỉ và nghiệm vô tỷ

Phân biệt giữa nghiệm hữu tỉ và nghiệm vô tỷ (2)

Phân biệt giữa nghiệm hữu tỉ và nghiệm vô tỷ (2)