Các kiến thức con lắc lò xo dao động điều hòa

Những bài con lắc lò xo dao động điều hòa luôn gặp trong đề THPT. Để học sinh hiểu, tôi sẽ giới thiệu các kiến thức căn bản con lắc lò xo dao động điều hòa.

I. Con lắc lò xo là gì?.
Là một hệ cơ học gồm một lò xo có độ cứng là k – không khối lượng, một đầu lò xo được gắn vào một vị trí cố định, đầu còn lại được gắn vào một vật khối lượng m và kích thước bỏ qua.

Dựa theo định nghĩa trên ta có 3 loại con lắc lò xo:
• Con lắc nằm ngang: Dạng này cần học kĩ.
• Con lắc phương thẳng đứng: Trong quá trình học ta chỉ khảo sát con lắc treo theo phương thẳng đứng bởi dạng này thường xuyên ra vào đề thi của BGD&ĐT
• Con lắc nằm nghiêng: Ta bỏ phần này bởi đã nhiều năm không ra.

Lưu ý: Điều kiện để con lắc lò xo nằm nghiêng hoặc nằm ngang dao động điều hòa khi
• Bỏ qua ma sát, lực cản.
• Vật dao động trong giới hạn đàn hồi

II. Chu kì, tần số, tần số góc
• Tần số góc con lắc: $\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} $
• Chu kỳ con lắc: $T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} $
• Tần số con lắc: $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega }{{2\pi }} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} $

III. Năng lượng con lắc
Giả sử con lắc lò xo dao động điều hòa có:
• Phương trình li độ con lắc x = Acos(ωt + φ)
• Phương trình vận tốc con lắc x = – Aωsin(ωt + φ)

a) Thế năng đàn hồi con lắc ${{\text{W}}_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}.{A^2}.{\cos ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right)$
b) Động năng con lắc: ${{\text{W}}_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}.{A^2}.{\sin ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right)$
c) Cơ năng con lắc ${\text{W}} = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}k{A^2}.$ .

 

Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương cùng tần số

Nếu một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hòa, muốn tìm tổng hợp dao động điều hòa đó thì điều kiện hai dao động đó phải cùng phương, cùng tần số. Trong bài viết này tác giá sẽ đề cập đến kiến thức căn bản:

I. Điều kiện để tổng hợp dao động điều hòa
Điều kiện: Hai dao động điều hòa phải cùng phương và cùng tần số

II. Phương trình tổng hợp dao động điều hòa theo chiều thuận
Giả sử một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2)
Khi đó, dao động điều hòa tổng hợp sẽ là một dao động cùng phương, cùng tần số với hai dao động trên và có phương trình li độ x = Acos(ωt + φ).

Tổng Hợp Hai Dao động Điều Hòa

Trong đó:
Biên độ dao động tổng hợp: ${A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}c{\text{os}}({\varphi _2} – {\varphi _1}) $
Pha ban đầu dao động tổng hợp $\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}c{\text{os}}{\varphi _1} + {A_2}c{\text{os}}{\varphi _2}}} $ với φ1 ≤ φ ≤ φ2 (nếu φ1 ≤ φ2 )

Một số trường hợp đặc biệt
– Nếu độ lệch pha: ∆φ = 2kπ (x1, x2 cùng pha) → A$_{max}$ = A1 + A2
– Nếu độ lệch pha:  ∆φ = (2k+1)π (x1, x2 ngược pha) → A$_{min}$ = |A1 – A2|
– Nếu độ lệch pha là bất kì thì biên độ dao động sẽ: |A1 – A2| ≤ A ≤ A1 + A2

II. Phương trình tổng hợp dao động điều hòa theo chiều nghịch
Nếu bài toàn lại cho ta biết phương trình dao động tổng hợp x = Acos(ωt + φ) và một phương trình dao thành phần x1 = A1cos(ωt + φ1) thì ta hoàn toàn có thể tìm được phương trình dao động điều hòa thành phần còn lại x2 = A2cos(ωt + φ2).
Trong đó:

  • Biên độ dao động điều hòa thành phần thứ hai: $A_2^2 = {A^2} + A_1^2 – 2A{A_1}c{\text{os}}(\varphi – {\varphi _1}) $
  • Pha dao động điều hòa của thành phần thứ hai: $\tan {\varphi _2} = \frac{{A\sin \varphi – {A_1}\sin {\varphi _1}}}{{Ac{\text{os}}\varphi – {A_1}c{\text{os}}{\varphi _1}}} $ với φ1 ≤ φ ≤ φ2 ( nếu φ1 ≤ φ2 )

II. Phương trình tổng hợp dao động điều hòa của nhiều dao động thành phần
Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x1 = A1cos(ωt + φ1;
x2 = A2cos(ωt + φ2) … thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
x = Acos(ωt + φ).

Phương pháp giải:
Bước 1: Chiếu các dao động điều hòa lên trục Ox, sao đó tìm biên độ dao động tổng hợp theo phương Ox
A$_{x}$ = Acosφ = A$_{1}$cosφ$_{1}$ + A$_{2}$cosφ$_{2}$+…
Bước 2: Chiếu các dao động điều hòa lên trục Oy, sao đó tìm biên độ dao động tổng hợp theo phương Oy
A$_{y}$ = Asinφ = A$_{1}$sinφ$_{1}$ + A$_{2}$sinφ$_{2}$+…
Bước 3: Biên độ và pha ban đầu của dao động điều hòa tổng hợp

Biên độ dao động tổng hợp $ {A^2} = A_x^2 + A_y^2 $
Độ lệch pha dao động tổng hợp $ \tan \varphi = \frac{{{A_y}}}{{{A_x}}} $

Kiến thức căn bản về dao động điều hòa

Bài viết này xin giới thiệu với các em những kiến thức căn bản về dao động điều hòa thuộc chuyên đề dao động điều hòa. Hy vọng nó sẽ hữu ích với các em học lớp 12

I. Thế nào là Dao động cơ?
Một vật được gọi là Dao động khi nó thỏa mãn:
• Vật đó phải chuyển động trong khoảng không gian có giới hạn
• Chuyển động của vật phải lặp đi lặp lại quanh một vị trí cân bằng

II. Thế nào là Dao động tuần hoàn?
Dao động của một vật mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật trở lại vị trí ban đầu và chuyển động đúng theo hướng cũ thì gọi gọi là dao động tuần hoàn

III. Thế nào là Dao động điều hoà
Dao động của một vật mà li độ của nó được mô tả bằng hàm sin hoặc cos theo thời gian thì gọi là dao động điều hòa
a) Phương trình dao động
phương trình x = Acos(ωt+ φ)
Giải thích:
• ω: Gọi là tần số góc của dao động.(rad/s)
• A: gọi là biên độ dao động: là li độ dao động cực đại ứng với cos(ωt+φ) =1.
• (ωt + φ): Pha dao động (rad)
• x: li độ của vật ở thời điểm t (tính từ VTCB)
• φ : pha ban đầu.(rad)
b) Tần số góc ω và mỗi liên hệ với các đại lượng khác
$ \omega = 2\pi f = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi .\frac{N}{t} $
• ω tần số góc (rad/s)
• f tần số (Hz)
• T chu kì (s)
• N là số dao động mà chất điểm thực hiện được trong thời gian t

c) Vận tốc
Phương trình: v = x’ = -Aωsin(ωt + φ),
• Tốc độ đạt giá trị lớn nhất v$_{max} $=Aω khi x = 0 (nghĩa là vật qua vị trí cân bằng).
• Tốc độ đạt giá trị lớn nhất vmin = 0 khi x = ± A ở vị trí biên

d. Gia tốc .
Phương trình: a = v’ = -Aω$^{2} $cos(ωt + φ)= -ω$^{2} $x
• Độ lớn gia tốc đạt giá trị lớn nhất |a|$_{max} $=Aω$^{2} $ khi x = ±A (vật ở vị trí biên)
• Độ lớn gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất a = 0 khi x = 0 (VTCB) khi đó F$_{hl} $ = 0 .
– Gia tốc luôn hướng ngược dâu với li độ (Hay véc tơ gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng)

e) Đồ thị biểu diễn li độ, vận tốc, gia tốc

Đồ thị dao động điều hòa của x, v, a

Câu 1.
Trong các phương trình sau phương trình nào không biểu thị cho dao động điều hòa?
A. x = 5cos(πt) + 1(cm).
B. x = 3tcos(100πt + π/6)cm
C. x = 2sin2(2πt + π/6)cm.
D. x = 3sin(5πt) + 3cos(5πt) (cm).

Giải
– A. x = 5cosπt + 1 → x – 1 = 5cos(πt), nếu ta đặt X = x – 1 thì phương trình dao động của vật sẽ là X = 5cos(πt) cm → Thỏa mãn
– B. x = 3tcos(100πt + π/6)cm → A = 3t: không thỏa mãn
– C. $ x = 2{\sin ^2}\left( {2\pi t + \frac{\pi }{6}} \right) = 1 + \cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)cm $ →tương tự ý A → thỏa mãn.
– D. x = 3sin5πt + 3cos5πt = $ 3\sqrt 2 $cos(5πt – π/4) cm → Thỏa mãn
Chọn B.

Câu 2.
Vật dao động điều hòa với phương trình x = 40cos(20πt + π/3) (cm) (t đo bằng giây). Tìm biên độ dao động và pha ban đầu?
A. 20 cm và π/3 rad .
B. 80 cm và – π/6 rad.
C. 40 cm và π/3 rad.
D. π/3 cm và 40 rad.

Giải
Theo đề: x = 40cos(20πt + π/3) (cm) → A = 40 cm và φ = π/3 rad
Chọn C.

Câu 3.
Vật dao động  với phương trình x = 5cos(20πt – 3π/4) cm (cm) (t đo bằng giây). Tốc độ cực đại mà vật có thể đạt được?
A. 1 cm/s.
B. 5 cm/s.
C. π m/s.
D. 1 m/s.

Giải
Ta có: v = x’= – 100π.sin (20πt – 3π / 4) cm / s → vmax = 100π cm / s = π m / s.
Select C.

Câu 4.
Vật dao động với phương trình x = 4sin(20πt + 5π/6) cm (cm) (t đo bằng giây). Tìm li độ cực đại và tốc độ khi vật qua vị trí cân bằng?
A. 4 cm và 80π cm/s.
B. 0 cm và 80π cm/s.
C. 4 cm và 0 cm/s.
D. 4 cm và – 80π cm/s.

Giải
x = 4sin (20πt + 5π / 6) = 4cos (20πt + π / 3) cm → A = 4 cm
Ta có: v = x’= – 4.20π.sin (20πt + π / 3) cm / s → vmax = 80π cm / s
Select A.

Câu 5.
Một vật dao động điều hòa với x = 5cos(πt + π/2)cm, với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Khi vật đi qua vị trí biên âm thì gia tốc của vật
A. – 5π2 m/ s$^2$ .
B. 5π cm/ s$^2$ .
C. 5π2 cm/ s$^2$ .
D. – 5π cm/ s$^2$ .

Giải
$ x = 5\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\left( {cm} \right) \to a = – 5{\pi ^2}.\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\left( {\frac{{cm}}{{{s^2}}}} \right) \to {a_{\max }} = 5{\pi ^2}\left( {\frac{{cm}}{{{s^2}}}} \right)$
Select C.

Câu 6.
Phương trình dao động có dạng x = – 2sin(πt – π/4) (trong đó x tính bằng cm và t tính bằng giây). Xác định pha ban đầu?
A. π rad.
B. 3π/4 rad.
C. π/4 rad.
D. – π/4 rad.

Giai
x = – 2sin (pt – p / 4) = 2sin (pt – p / 4 + n) = 2cos (pt – p / 4 + n – n / 2) = 2cos (pt + n / 4) cm
CHƠN C .

Câu 7.
Một vật dao động có phương trình vận tốc là v = – 6cos(0,25πt + π/3) (trong đó v tính bằng cm/ và t tính bằng giây). Xác định pha dao động li độ của vật vào thời điểm t = 4s?
A. 11π/6 rad.
B. 5π/6 rad.
C. – π/3 rad.
D. – 5π/6 rad.

Giải
x = Acos(ωt + φ) → v = x‘ = – Aωsin(ωt + φ) = = – Aωcos(ωt + φ – π/2) (*)
Từ dự kiện đề bài và (*), ta có: φ – π/2 = π/3 → φ = 5π/6 rad.
Vậy pha dao động của vật vào thời điểm 4 s: (ωt + φ) = 20πt.4 + 5π/6 = 11π/6 rad
Chọn A.

Câu 8.
Một chất điểm dao động có phương trình vận tốc là v = 4πcos(2πt) cm/s. Gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Mốc thời gian được chọn vào lúc chất điểm có li độ và vận tốc là
A. x = 2 cm và v = 0.
B. x = 0 và v = 4π cm/s.
C. x = – 2 cm và v = 0.
D. x = 0 và v = – 4π cm/s.
Giải
$ \left\{ \begin{array}{l}
x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\\
v = – A\omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right) = A\omega c{\rm{os}}\left( {\omega t + \varphi + \frac{\pi }{2}} \right)
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
\varphi = – \frac{\pi }{2}\left( {rad} \right)\\
A = 2cm
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\cos \left( {2\pi .0 – \frac{\pi }{2}} \right) = 0\\
v = 4\pi c{\rm{os}}\left( {2\pi .0} \right) = 4\pi \left( {\frac{{cm}}{s}} \right)
\end{array} \right. $
Chọn C.

Câu 9.
Vật dao động với phương trình: x = 20cos(2πt – π/12) (cm) (t đo bằng giây). Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5/24 (s) là:
A. 2 m/ s$^2$ .
B. 9,8 m/ s$^2$ .
C. – 4 m/ s$^2$ .
D. 10 m/ s$^2$ .

Giải
$\left\{ \begin{array}{l}
x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\\
v = – A\omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right) = A\omega c{\rm{os}}\left( {\omega t + \varphi + \frac{\pi }{2}} \right)
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
\varphi = – \frac{\pi }{2}\left( {rad} \right)\\
A = 2cm
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\cos \left( {2\pi .0 – \frac{\pi }{2}} \right) = 0\\
v = 4\pi c{\rm{os}}\left( {2\pi .0} \right) = 4\pi \left( {\frac{{cm}}{s}} \right)
\end{array} \right.$
Select C.

Câu 10.
Một vật dao động với phương trình: x = 4cos(2πt – π/3) (cm) (t đo bằng giây). Vào thời điểm t = 2,5 s thì li độ và vận tốc của vật bằng
A. $ x = 2cm;\,v = 4\pi \sqrt 3 \frac{{cm}}{s}. $
B. $ x = 2cm;\,v = – 4\pi \sqrt 3 \frac{{cm}}{s}. $
C. $ x = – 2cm;\,v = – 4\pi \sqrt 3 \frac{{cm}}{s}. $
D. $ x = – 2cm;\,v = 4\pi \sqrt 3 \frac{{cm}}{s}. $

Giải
$ \left\{ \begin{array}{l}
t = 2,5\left( s \right)\\
x = 4\cos \left( {2\pi .t – \frac{\pi }{3}} \right)\\
v = – 2\pi .4\sin \left( {2\pi .t – \frac{\pi }{3}} \right)
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
t = 2,5s\\
x = – 2cm\\
v = – 4\pi \sqrt 3 \frac{{cm}}{s}
\end{array} \right. $
Select C.

1 60 61 62